人教版新课标A必修5第二章 数列2.4 等比数列复习练习题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．2＋与2－的等比中项是(　　)

A．1 B．－1

C．±1 D．2

【解析】　2＋与2－的等比中项为G＝±＝±1，故选C.

【答案】　C

2．在等比数列{an}中，a2 016＝8a2 015，则公比q的值为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．8

【解析】　因为a2 016＝8a2 015，

所以a1q2 015＝8a1·q2 014，

解得q＝8.

【答案】　D

3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的(　　)

A．第2项 B．第4项

C．第6项 D．第8项

【解析】　由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，

可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，

∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4n－1，由－4n－1＝－13，得n＝4.

【答案】　B

4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于(　　)

A．3 B．2

C．1 D．－2

【解析】　由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，

得b＝1，c＝2.

又a，b，c，d成等比数列，即a,1,2，d成等比数列，

所以d＝4，a＝，故ad＝4×＝2.

【答案】　B

5．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)

A．21 B．42

C．63 D．84

【解析】　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，

∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．

∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.

【答案】　B

二、填空题

6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝        .

【解析】　设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4.

∴q4＝，q2＝，

∴a3＝a1q2＝2×＝1.

【答案】　1

7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝        .

【解析】　由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.

所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.

【答案】　3×2n－3

8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝        .

【解析】　由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，

∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，

∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.

【答案】　27

三、解答题

9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？

【解】　(1)因为2an＝3an＋1，

所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，

所以a5＝3，由于各项均为负，

故a1＝－，an＝－n－2.

(2)设an＝－，则－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．

10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.

(1)求证：{bn}是等比数列；

(2)求{bn}的通项公式．

【解】　(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，

∴＝＝＝－.

∴{bn}是等比数列．

(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，

∴bn＝1×n－1＝n－1.

[能力提升]

1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)

A.＋1 B．3＋2

C．3－2 D．2－3

【解析】　设等比数列{an}的公比为q，

由于a1，a3,2a2成等差数列，

则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，

所以a1q2＝a1＋2a1q.

由于a1≠0，

所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.

又等比数列{an}中各项都是正数，

所以q>0，所以q＝1＋.

所以＝＝＝＝3－2.

【答案】　3－2

2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)

A．2 B．1

C. D．

【解析】　法一　∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，

∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，

∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.

法二　∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，

将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，

解得q＝2，

∴a2＝a1q＝，故选C.

【答案】　C

3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝        ，d＝        .

【解析】　∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，

∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①

又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②

由①②解得a1＝，d＝－1.

【答案】　　－1

4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.

(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；

(2)求an的表达式. 【导学号：05920070】

【解】　(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．

由a1＝1，故a1＋1≠0，

由上式易知an＋1≠0，∴＝2.

∴{an＋1}是等比数列．

(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，

∴an＋1＝2·2n－1，即an＝2n－1.