高中数学人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法随堂练习题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知直线ax＋by＋1＝0，若ax＋by＋1>0表示的区域如选项中所示，其中正确的区域为(　　)

【解析】　边界直线ax＋by＋1＝0上的点不满足ax＋by＋1>0，所以应画成虚线，故排除B和D，取原点(0,0)代入ax＋by＋1，因为a×0＋b×0＋1＝1>0，所以原点(0,0)在ax＋by＋1>0表示的平面区域内，排除A，故选C.

【答案】　C

2．(2016·石家庄高二检测)点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是(　　)

A．b≤　　　　　　　　 B．b<1

C．b>   D．b>－9

【解析】　由题意知2×(－2)－3b＋5<0，

∴b>.

【答案】　C

3．已知点(a,2a－1)既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)   B．(5，＋∞)

C．(0,2)   D．(0,5)

【解析】　∵(a,2a－1)在直线y＝3x－6的上方，

∴3a－6－(2a－1)<0，即a<5.

又(a,2a－1)在y轴右侧，∴a>0.

∴0<a<5.

【答案】　D

4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，x，y满足的条件是(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　∵木工和瓦工各请x，y人，

∴有x∶y＝2∶3，

50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200，且x，y∈N*.

【答案】　C

5．不等式组表示的平面区域是一个(　　)

A．三角形   B．直角梯形

C．梯形   D．矩形

【解析】　不等式组

等价于

或

分别画出其平面区域(略)，可知选C.

【答案】　C

二、填空题

6．表示图3­3­3中阴影部分所示平面区域的不等式组是________．

图3­3­3

【解析】　由所给的图形容易知道，点(3,1)在相应的平面区域内，将点(3,1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6>0、2x－3y－6<0、2x＋3y－12<0，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是

【答案】　

7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．

【解析】　由题意点(x，y)的坐标应满足

由图可知

整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，(1,1)6个．

【答案】　6

8．若不等式组表示的平面区域为Ω，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ω中的那部分区域的面积为________. 【导学号：05920077】

【解析】　如图所示，Ω为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形，

∴S四边形BOCD＝S△BOE－S△CDE＝×2×2－×1×＝.

【答案】　

三、解答题

9．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．

【解】　不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是

对应的平面区域如图阴影部分所示．

10．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．

【解】　(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0，

等价于①

或②

则所求区域是①和②表示区域的并集．

不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0右上方的点的集合，

不等式x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0左上方的点的集合．

所以所求不等式表示区域如图所示．

[能力提升]

1．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)

A．(5,7)   B．[5,7)

C．[5,7]   D．(5,7]

【解析】　不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5<a<7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a<7时，表示的平面区域为三角形．

【答案】　B

2．(2015·重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)

A．－3   B．1

C.   D．3

【解析】　作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0)．

S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．

【答案】　B

3．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．

【解析】　作出区域D及圆x2＋y2＝4如图所示，

图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为，－即tan α＝，tan β＝，tan θ＝tan(α＋β)＝＝1，

所以θ＝，故弧长l＝θ·R＝×2＝.

【答案】　

4．设不等式组表示的平面区域是Q.

(1)求Q的面积S；

(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合．

【解】　(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．

由解得A(4，－4)，

由解得B(4,12)，

由解得C(－4,4)．

于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.

∴S＝×16×8＝64.

(2)由已知得

即亦即

得t＝－1,0,1,2,3,4.

故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．