选修1-13.2导数的计算综合训练题

§3.3导数在研究函数中的应用

3.3.1　函数的单调性与导数

课时目标　掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．

1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a，b)内，如果__________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．

2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．

3．求函数单调区间的步骤和方法

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)在函数定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；

(4)确定f(x)的单调区间．

一、选择题

1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)

A．f(x)>0                        B．f(x)<0

C．f(x)＝0                       D．不能确定

3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)

A．sin x                         B．xex

C．x3－x                        D．ln x－x

4．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)

A．增函数                       B．减函数

C．先增后减                     D．不确定

5．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(　　)

A．f(0)＋f(2)>2f(1)

B．f(0)＋f(2)＝2f(1)

C．f(0)＋f(2)<2f(1)

D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定

6．函数y＝ax－ln x在(，＋∞)内单调递增，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0]∪[2，＋∞)           B．(－∞，0]

C．[2，＋∞)                     D．(－∞，2]

二、填空题

7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间是____________．

8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．

9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．

三、解答题

10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．

11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．

(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．

能力提升

12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．

13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．

2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．

§3.3　导数在研究函数中的应用

3．3.1　函数的单调性与导数

答案

知识梳理

1．f′(x)>0　f′(x)<0　单调递减　f′(x)＝0

2．变化得快　陡峭　平缓

作业设计

1．A　[f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．]

2．A　[因为f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)>f(a)≥0.]

3．B　[A中，y′＝cos x，当x>0时，y′的符号不确定；B中，y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，当x>0时，y′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C中：y′＝3x2－1，当x>0时，y′>－1；D中，y′＝－1，当x>0时，y′>－1.]

4．A　[f′(x)＝2－cos x，∵cos x≤1，

∴f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]

5．C　[当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，

∴f(1)>f(2)．

当x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，

∴f(0)<f(1)．

因此f(0)＋f(2)<2f(1)．]

6．C　[∵y′＝a－，函数y＝ax－ln x在内单调递增，

∴函数在(，＋∞)上y′≥0，即a－≥0，

∴a≥.由x>得<2，

要使a≥恒成立，只需a≥2.]

7．(－1,11)

解析　∵f′(x)＝3x2－30x－33

＝3(x＋1)(x－11)．

由f′(x)<0，得－1<x<11，

∴f(x)的单减区间为(－1,11)．

8．(－∞，－3]

解析　f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立

⇔，即，

∴a≤－3.

9．[1，＋∞)

解析　∵f′(x)＝cos x＋a≥0，∴a≥－cos x，

又－1≤cos x≤1，∴a≥1.

10．解　由题设知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝4x－＝，

由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，

得0<x<，

∴函数f(x)＝2x2－ln x的单调增区间为，单调减区间为.

11．解　(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，

由题设知－1<x<2是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集．

∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，

∴－1＋2＝－b，(－1)×2＝，

即b＝－，c＝－6.

(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，

∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，

∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0.

∴a的取值范围为(－∞，0)．

12．解　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＋2ax＝.

①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，

解得x＝，

则当x∈时，f′(x)>0；

当x∈时，f′(x)<0.

故f(x)在上单调递增，

在上单调递减．

综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

当－1<a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．

13．解　(1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.

因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，

所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞)恒成立．

因为3x2≥0，所以只需a≤0.

又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在实数集R上单调递增，所以a≤0.

(2)假设f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，

则a≥3x2在x∈(－1,1)时恒成立．

因为－1<x<1，所以3x2<3，所以只需a≥3.

当a＝3时，在x∈(－1,1)上，f′(x)＝3(x2－1)<0，

即f(x)在(－1,1)上为减函数，所以a≥3.

故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．