高中人教版新课标A3.4生活中的优化问题举例达标测试

§3.4　生活中的优化问题举例

课时目标　通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．

2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．

3．解决优化问题的基本思路是：

→

　　　　　　　　　　　　      ↓

　←

上述解决优化问题的过程是一个典型的_________                          _过程．

一、选择题

1．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2 (0<x<60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(　　)

A．30       B．40       C．50       D．其他

2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)

A．13万件              B．11万件

C．9万件               D．7万件

3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为(　　)

A．32米，16米          B．30米，15米

C．40米，20米          D．36米，18米

4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　　)

A．         B．         C．          D．2

5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为(　　)

A． cm                B． cm

C． cm              D． cm

6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝，则总利润最大时，年产量是(　　)

A．100          B．150          C．200         D．300

二、填空题

7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________．

9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

三、解答题

10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

能力提升

12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

13．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大．

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．

(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；

(4)写出答案．

§3.4　生活中的优化问题举例

答案

知识梳理

1．优化问题　导数　导数　优化问题

作业设计

1．B　[V′(x)＝60x－x2＝0，x＝0或x＝40.

可见当x＝40时，V(x)达到最大值．]

2．C　[y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0，故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．]

3．A　[要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，

如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋ (x>0)，

则L′＝2－.

令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.

当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．]

4．C　[设底面边长为a，直三棱柱高为h.

体积V＝a2h，所以h＝，

表面积S＝2·a2＋3a·＝a2＋，

S′＝a－，由S′＝0，得a＝.

经验证，当a＝时，表面积最小．]

5．D　[设高为x cm，则底面半径为 cm，

体积V＝x·(202－x2) (0<x<20)，

V′＝(400－3x2)，由V′＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x∈时，V′>0，当x∈时，V′<0，所以当x＝时，V取最大值．]

6．D　[由题意，总成本为c＝20 000＋100x，

所以总利润为p＝r－c

＝，

p′＝，

p′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；

当x>400时，p′<0恒成立，

易知当x＝300时，总利润最大．]

7．5

解析　依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．

于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.

因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，

令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．

故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．

8．1∶1

解析　设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，所以窗户周长

L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，L′＝＋2－.

由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，

x∈时，L′>0，

所以当x＝ 时，L取最小值，

此时＝＝－＝－＝1.

9．3

解析　设半径为r，则高h＝＝.

∴水桶的全面积S(r)＝πr2＋2πr·＝πr2＋.

S′(r)＝2πr－，令S′(r)＝0，得r＝3.

∴当r＝3时，S(r)最小．

10．解　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，

即n＝－1 (0<x<m)，

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x

＝256＋(2＋)x

＝＋m＋2m－256 (0<x<m)．

(2)由 (1)知，f′(x)＝－＋mx－

＝(x－512)．

令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.

当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；

当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．

11．解　(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有

f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)

＝(21－x)·(432＋kx2)，

又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，

所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．

(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432

＝－18(x－2)(x－12)．

当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：

故x＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．

12．解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋

＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，

f′(x)＝48－，

令f′(x)＝0得x＝15.

当x>15时，f′(x)>0；

当0<x<15时，f′(x)<0.

因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．

13．解　收入R＝q·p＝q＝25q－q2.

利润L＝R－C＝－(100＋4q)

＝－q2＋21q－100 (0<q<200)，

L′＝－q＋21，

令L′＝0，即－q＋21＝0，解得q＝84.

因为当0<q<84时，L′>0；

当84<q<200时，L′<0，

所以当q＝84时，L取得最大值．

所以产量q为84时，利润L最大．