模块综合检测(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)

1．已知命题“p：x≥4或x≤0”，命题“q：x∈Z”，如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为(　　)

A．{x|x≥3或x≤－1，x∉Z}

B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}

C．{－1,0,1,2,3}

D．{1,2,3}

2．“a>0”是“|a|>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知2x＋y＝0是双曲线x2－λy2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是(　　)

A.          B.         C.       D．2

4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为(　　)

A.－＝1                B.－＝1

C.－＝1                D.－＝1

5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A．2       B．6        C．4         D．12

6．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为(　　)

A.－＝1                  B.－＝1

C.－＝1                  D.－＝1

7．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝3x－4                  B．y＝－3x＋2

C．y＝－4x＋3                 D．y＝4x－5

8．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)

A．(0,1]                           B．[1，＋∞)

C．(－∞，－1]，(0,1)                D．[－1,0)，(0,1]

9．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为(　　)

A．3                            B．2

C.                              D.

10．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)

A．2         B.        C．－          D．－2

11．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)

12．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极小值－6时，x的值应为(　　)

A．0         B．－1         C．±1         D．1

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知双曲线x2－＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．

14．点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．

15．给出如下三种说法：

①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc.

②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题．

③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．

其中正确说法的序号为________．

16．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．

18．(12分)F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．

19.(12分)若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．

20．(12分)已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.

(1)求椭圆的方程；

(2)求△CDF2的面积．

21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

22．(12分)已知f(x)＝x3－2ax2－3x (a∈R)，

(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；

(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．

模块综合检测(B)  答案

1．D

2．A　[因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0 a>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．]

3．C

4．A　[由题意知c＝4，焦点在x轴上，

又e＝＝2，∴a＝2，

∴b2＝c2－a2＝42－22＝12，

∴双曲线方程为－＝1.]

5．C　[设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知

|BA|＋|BF|＝2，且|CF|＋|AC|＝2，

所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|

＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4.]

6．D　[与双曲线－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－y2＝λ，

由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.

所以所求的双曲线方程为－＝1.]

7．B　[y′＝3x2－6x，∴k＝y′|x＝1＝－3，

∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，

∴y＝－3x＋2.]

8．A　[由题意知x>0，

若f′(x)＝2x－＝≤0，则0<x≤1，

即函数f(x)的递减区间是(0,1]．]

9．C　[令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

①－②得：

(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

即2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，

∴kl＝－，∴l的方程：x＋2y－3＝0，

由，得6y2－12y＋5＝0.

∴y1＋y2＝2，y1y2＝.

∴|AB|＝＝.]

10．D　[y＝，

∴y′|x＝3＝－|x＝3＝－.

又∵－a×＝－1，∴a＝－2.]

11．A　[依题意，f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足．]

12．C　[f(x)＝x4－2x2＋c.

因为过点(0，－5)，所以c＝－5.

由f′(x)＝4x(x2－1)，得f(x)有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f(1)＝f(－1)＝－6.]

13.

解析　焦点(±2,0)，渐近线：y＝±x，

焦点到渐近线的距离为＝.

14.

解析　先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x0 (x0>0)，则经过该点的切线的斜率为k＝2x0－，根据题意得，2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－，又∵x0>0，∴x0＝1，此时y0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为＝.

15．①②

解析　对①，a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之不一定，故①正确；对②，令x＝5，y＝6，则x－y＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p∧q假时，p，q至少有一个为假命题，故③错误．

16．(1,3]

解析　设|PF2|＝m，

则2a＝||PF1|－|PF2||＝m，

2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m.

∴e＝＝≤3，又e>1，

∴离心率的取值范围为(1,3]．

17．解　命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根⇔⇔m>2.

命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根

⇔Δ′＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0

⇔1<m<3.

∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p为真、q为假或p为假、q为真，

则或，

解得m≥3或1<m≤2.

18．解　

设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，F1，F2是它的两个焦点，Q为椭圆上任意一点，QP是△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线(如图)，连结PO，

过F2作F2P⊥QP于P并延长交F1Q的延长线于H，则P是F2H的中点，且|F2Q|＝|QH|，

因此|PO|＝|F1H|＝(|F1Q|＋|QH|)

＝(|F1Q|＋|F2Q|)＝a，

∴点P的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x轴的交点)．

19．解　由于sin x＋cos x＝sin∈[－，]，

∀x∈R，r(x)为假命题即sin x＋cos x>m恒不成立．

∴m≥.                           ①

又对∀x∈R，s(x)为真命题．

∴x2＋mx＋1>0对x∈R恒成立．

则Δ＝m2－4<0，即－2<m<2.           ②

故∀x∈R，r(x)为假命题，且s(x)为真命题，

应有≤m<2.

20．解　(1)由题意知b＝1，e＝＝，

又∵a2＝b2＋c2，∴a2＝2.

∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)∵F1(－1,0)，

∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，

由，得9x2＋16x＋6＝0.

∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，

∴直线与椭圆有两个公共点，

设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则，

∴|CD|＝|x1－x2|

＝·

＝·＝，

又点F2到直线BF1的距离d＝，

故S△CDF2＝|CD|·d＝.

21．解　(1)由f(x)的图象经过P(0,2)知d＝2，

∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，

f′(x)＝3x2＋2bx＋c.

由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，

即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.

∴即

解得b＝c＝－3.

故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.

(2)f′(x)＝3x2－6x－3，令3x2－6x－3＝0，

即x2－2x－1＝0.

解得x1＝1－，x2＝1＋.

当x<1－或x>1＋时，f′(x)>0.

当1－<x<1＋时，f′(x)<0.

故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，1－)和(1＋，＋∞)内是增函数，在(1－，1＋)内是减函数．

22．解　(1)∵f(x)＝x3－2ax2－3x，

∴f′(x)＝2x2－4ax－3，

∵f(x)在区间(－1,1)上为减函数，

∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立；

∴　得－≤a≤.

故a的取值范围是.

(2)当a>时，∵，

∴存在x0∈(－1,1)，使f′(x0)＝0，

∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，

∴在(－1，x0)内，f′(x)>0，在(x0,1)内，f′(x)<0，

即f(x)在(－1，x0)内单调递增，在(x0,1)内单调递减，

∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．

当a<－时，∵，

∴存在x0∈(－1,1)使f′(x0)＝0.

∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，

∴在(－1，x0)内f′(x)<0，

在(x0,1)内f′(x)>0.

即f(x)在(－1，x0)内单调递减，在(x0,1)内单调递增，

∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．

当－≤a≤时，由(1)知f(x)在(－1,1)内递减，没有极值点．

综上，当a>或a<－时，f(x)在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－≤a≤时，f(x)在(－1，1)内的极值点的个数为0.