数学选修1-12.1椭圆巩固练习

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)

A．5,3，　　　　　　　 B．10,6，

C．5,3， D．10,6，

【解析】　椭圆方程可化为＋＝1.

∴a＝5，b＝3，c＝4，

∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，

离心率e＝＝.故选B.

【答案】　B

2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　∵椭圆焦点在x轴上，

∴0＜m＜2，a＝，c＝，

e＝＝＝.

故＝，∴m＝.

【答案】　B

3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

【解析】　因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1.

【答案】　A

4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的椭圆的离心率为.故选B.

【答案】　B

5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0,3)   B.

C．(0,3)∪ D．(0,2)

【解析】　当焦点在x轴上时，e2＝＝∈，

解得0＜k＜3.

当焦点在y轴上时，

e2＝＝∈，

解得k＞.综上可知选C.

【答案】　C

二、填空题

6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为________.               【导学号：26160036】

【解析】　由题意得

解得

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

【答案】　＋＝1或＋＝1

7．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．

【解析】　若焦点在x轴上，则＝1－2＝，k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.

【答案】　或－3

8．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．

【解析】　设P点到x轴的距离为h，则

S△PF1F2＝|F1F2|h，

当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，

∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.

【答案】　3

三、解答题

9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．

【解】　因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－.又e＝＝，

∴a＝2，c＝，b2＝1，

∴椭圆的方程为＋x2＝1.

10.如图2－1－3所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．

图2－1－3

【解】　设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．

又∠MF1F2＝30°，

所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.

而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，

因此|MF1|＝，|MF2|＝，

所以2c＝×，即＝，

即椭圆的离心率是.

[能力提升]

1．(2016·长沙一模)已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝|PF1|，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.－1

C．2－ D．1－

【解析】　由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝－1.

【答案】　B

2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2　　　　B．3   C．6　　　　D．8

【解析】　由题意得F(－1,0)，

设点P(x0，y0)，

则y＝3(－2≤x0≤2)，

·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，

当x0＝2时，·取得最大值为6.

故选C.

【答案】　C

3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________.

【导学号：26160037】

【解析】　由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1.

【答案】　＋＝1

4．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

【解】　(1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.

因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.

故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.

由椭圆定义可得

|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.

在△ABF2中，由余弦定理可得

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，

而a＋k>0，故a＝3k，

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.

因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，

故△AF1F2为等腰直角三角形．

从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.