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    数学选修1-12.2双曲线当堂检测题

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    这是一份数学选修1-12.2双曲线当堂检测题,共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

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    课时提升作业(十二)

    双曲线及其标准方程

    (25分钟 60分)

    一、选择题(每小题5分,共25分)

    1.(2015·福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 (  )

    A.11   B.9   C.5   D.3

    【解析】选B.因为=2a

    所以-=±6,

    所以=9或-3(舍去).

    【补偿训练】设点P是双曲线-=1上任意一点,F1,F2分别是左、右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=________.

    【解析】由双曲线方程,得a=3,b=4,c=5.

    当点P在双曲线的左支上时,由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=6,所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16;

    当点P在双曲线的右支上时,由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.

    故|PF2|=4或|PF2|=16.

    答案:4或16

    2.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是 (  )

    A.-=1(x2)      B.-=1(x2)

    C.-=1        D.-=1

    【解析】选C.由已知N(4,0),内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4,

    外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PM|-|PN||=4,因此2a=4,2c=8,所以b2=12,

    点P的轨迹是双曲线-=1.

    误区警示】本题易把相切理解为外切或内切,错选A或B.

    3.(2015·信阳高二检测)已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为 (  )

    A.1   B.-1   C.   D.-

    【解析】选B.将双曲线方程化为kx2-y2=1,即-=1.因为一个焦点是(0,3),所以焦点在y轴上,所以c=3,a2=-,b2=-,所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.

    误区警示】本题有两处易错:一是a2,b2确定错误,应该是a2=-,b2=-;二是a,b,c的关系式用错.在双曲线中应为c2=a2+b2.

    4.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则F2PQ的周长为 (  )

    A.19   B.26   C.43   D.50

    【解析】选B.如图,由双曲线的定义

    可得

    将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,

    所以F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|

    =4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.

    5.(2015·开封高二检测)双曲线-=1上一点P到点(5,0)的距离为15,那么该点到(-5,0)的距离为 (  )

    A.7   B.23   C.5或25   D.7或23

    【解析】选D.由题知a2=16,b2=9,所以c2=25.

    又焦点在x轴上,所以焦点为F1(-5,0),F2(5,0),

    ||PF1|-|PF2||=2a=8,||PF1|-15|=8,

    所以|PF1|-15=8或|PF1|-15=-8,

    所以|PF1|=23或|PF1|=7.

    拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点

    若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;

    若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).

    二、填空题(每小题5分,共15分)

    6.已知ABC的顶点B(-2,0),C(2,0),并且sinC-sinB=sinA,则顶点A的轨迹方程是________.

    【解析】设ABC外接圆半径为R,则由:

    sinC-sinB=sinA,得:

    -=·

    即|AB|-|AC|=2.

    所以点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支,并去掉顶点.

    因为2a=2,c=2,所以a2=1,b2=c2-a2=3.

    故点A的轨迹方程为x2-=1(x>1).

    答案:x2-=1(x>1)

    7.(2015·山西师大附中高二检测)从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|=________.

    【解析】设F2为椭圆右焦点,则|OM|=|PF2|,

    |PF|-|PF2|=6.

    因为FT是O的切线,所以|FT|=4,

    所以|MT|=|MF|-|FT|=|PF|-4,

    所以|MO|-|MT|=|PF2|-|PF|+4

    =4-(|PF|-|PF2|)=1.

    答案:1

    【补偿训练】若双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F1,F2,M为两曲线的交点,则|MF1|·|MF2|等于________.

    【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得

    |MF1|-|MF2|=±2, 

    |MF1|+|MF2|=2, 

    2-2得,4|MF1|·|MF2|=4a-4m

    所以|MF1|·|MF2|=a-m.

    答案:a-m

    8.已知双曲线上两点P1,P2的坐标分别为(3,-4),,则双曲线的标准方程为________.

    【解析】若曲线的焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为:-=1(a>0,b>0)

    依题意得

    令m=,n=,则方程组化为:

    解这个方程组得

    即a2=16,b2=9,所以所求双曲线的标准方程为-=1.

    若焦点在x轴上,设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),依题意得此时无解.

    综上可得,所求双曲线的标准方程为-=1.

    答案:-=1

    一题多解】设所求双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),

    依题意得解得

    故所求双曲线方程为-+=1即-=1.

    答案:-=1

    三、解答题(每小题10分,共20分)

    9.(2015·洛阳高二检测)已知曲线C:+=1(t0,t≠±1).

    (1)求t为何值时,曲线C分别为椭圆、双曲线.

    (2)求证:不论t为何值,曲线C有相同的焦点.

    【解析】(1)当|t|>1时,t2>0,t2-1>0,曲线C为椭圆;

    当0<|t|<1时,t2-1<0,曲线C为双曲线.

    (2)当|t|>1时,t2-1>0,曲线C是椭圆,且t2>t2-1,

    因而c2=t2-(t2-1)=1.

    所以焦点为F1(-1,0),F2(1,0).

    当0<|t|<1时,双曲线C的方程为-=1.

    因为c2=t2+(1-t2)=1,

    所以焦点为F1(-1,0),F2(1,0).

    综上所述,无论t为何值,曲线C有相同的焦点.

    10.(2015·漳州高二检测)已知双曲线-=1的两焦点为F1,F2.

    (1)若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离.

    (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.

    【解析】(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,

    ·=0,

    则MF1MF2

    设|MF1|=m,|MF2|=n,

    由双曲线定义知,m-n=2a=8,

    又m2+n2=(2c)2=80,

    ①②得m·n=8,

    所以mn=4=|F1F2|·h,

    所以h=.

    (2)设所求双曲线C的方程为

    -=1(-4<λ<16),

    由于双曲线C过点(3,2),

    所以-=1,

    解得λ=4或λ=-14(舍去).

    所以所求双曲线C的方程为-=1.

    (20分钟 40分)

    一、选择题(每小题5分,共10分)

    1.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1||PF2|=32,则PF1F2的面积为 (  )

    A.6    B.12    C.12    D.24

    【解析】选B.由已知得2a=2,不妨设P为双曲线右支上一点,又由双曲线的定义得,

    |PF1|-|PF2|=2,

    又|PF1||PF2|=32,

    所以|PF1|=6,|PF2|=4.

    又|F1F2|=2c=2.

    由余弦定理得cosF1PF2==0.

    所以三角形为直角三角形.=|PF1|·|PF2|=12.

    2.(2015·武威高二检测)已知向量a=(x+1,-ky),b=(y,x-1),且ab,则点P(x,y)的轨迹不可能是 (  )

    A.          B.椭圆

    C.一条直线        D.双曲线

    【解析】选C.依题意得(x+1)·(x-1)+ky·y=0,故x2+ky2=1,当k=1时,点P(x,y)的轨迹为圆;当k>0,且k1时,点P(x,y)的轨迹为椭圆;当k<0时,点P(x,y)的轨迹为双曲线.当k=0时,点P(x,y)的轨迹为两条直线x=±1,故选C.

    二、填空题(每小题5分,共10分)

    3.(2015·武汉高二检测)已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n=________.

    【解析】因为双曲线的焦点为(0,2),

    所以焦点在y轴,

    所以双曲线的方程为-=1,

    即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1,所以椭圆方程为+x2=1,且n>0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5或-3(舍去).

    答案:5

    4.(2015·盐城高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.

    【解析】设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,

    所以|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|.

    所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A,P,F1共线时,满足|PF1|+|PA|最小,易求得最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.

    答案:9

    三、解答题(每小题10分,共20分)

    5.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.

    【解析】因为双曲线焦点在x轴上,

    所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).

    因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.

    又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,

    所以·=0,即-c2+25=0.

    解得c2=25.

    又c2=a2+b2,

    所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.

    6.(2015·益阳高二检测)双曲线-y2=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,且满足:F1PF2=90°,求F1PF2的面积.

    【解题指南】利用双曲线的定义结合勾股定理表示三角形面积.

    【解析】如图,由双曲线方程-y2=1,可知:a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5.即a=2,c=.

    由双曲线定义,有|PF2|-|PF1|=2a

    所以|PF2|=4+|PF1|.

    F1PF2=90°,在直角F1PF2中,

    |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2

    即|PF1|2+(4+|PF1|)2=(2)2

    即|PF1|2+4|PF1|-2=0,由|PF1|>0,

    所以|PF1|=-2,可得|PF2|=+2,

    所以RtF1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=1.

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