2020-2021学年3.3导数在研究函数中的应用课后练习题

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课时自测·当堂达标

1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)　(　　)

A.有最大值,但无最小值

B.有最大值,也有最小值

C.无最大值,但有最小值

D.既无最大值,也无最小值

【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.

2.函数y=的最大值为　(　　)

A.e-1    B.e    C.e2    D.

【解析】选A.令y′==0,解得x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,所以y=的极大值为,因为y=在其定义域内只有一个极值,所以ymax=.

3.f(x)=x3-12x+8在上的最大值为M,最小值为m,则M-m=　　　　.

【解析】f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=2或x=-2.

又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,

所以M=24,m=-8,

所以M-m=32.

答案:32

4.函数f(x)=的最大值为　　　　.

【解析】方法一:f′(x)==0⇒x=1.

进一步分析,最大值为f(1)=.

方法二:f(x)==≤,

当且仅当=时,即x=1时,等号成立,

故f(x)max=.

答案:

5.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在上的最大值.

【解析】f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).

由f′(x)=0,得x=0或x=2.

当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如下表:

所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,

所以a=3.

所以当x=0时,f(x)取到最大值3.

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