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    高二数学人教选修1-2同步练习:2.1.1 合情推理(二) Word版含解析
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    数学选修1-2第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理达标测试

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    这是一份数学选修1-2第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理达标测试,共5页。试卷主要包含了基础过关,能力提升,探究与拓展等内容,欢迎下载使用。

    1.下列推理正确的是( )
    A.把a(b+c)与lga(x+y)类比,则有lga(x+y)=lgax+lgay
    B.把a(b+c)与sin (x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin y
    C.把a(b+c)与ax+y类比,则有ax+y=ax+ay
    D.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c
    2.下面几种推理是合情推理的是( )
    ①由圆的性质类比出球的有关性质;
    ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;
    ③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分;
    ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°.
    A.①② B.①③
    C.①②④ D.②④
    3.在等差数列{an}中,若an<0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,q>1,则下列有关b4,b5,b7,b8的不等关系正确的是( )
    A.b4+b8>b5+b7
    B.b5+b7>b4+b8
    C.b4+b7>b5+b8
    D.b4+b5>b7+b8
    4.已知扇形的弧长为l,半径为的r,类比三角形的面积公式:S=eq \f(底×高,2),可推知扇形面积公式S扇=________.
    5.类比平面直角坐标系中△ABC的重心G(eq \x\t(x),eq \x\t(y))的坐标公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x\t(x)=\f(x1+x2+x3,3),\x\t(y)=\f(y1+y2+y3,3)))(其中A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)),猜想以A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z3)为顶点的四面体A—BCD的重心G(eq \x\t(x),eq \x\t(y),eq \x\t(z))的公式为________.
    6.公差为d(d≠0)的等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,则数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列,且公差为100d,类比上述结论,相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有_____________________________________.
    二、能力提升
    7.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是________.
    ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交;
    ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直;
    ③如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行;
    ④如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行.
    8.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质中,你认为比较恰当的是________.(填序号)
    ①各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角都相等;
    ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;
    ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
    9.已知抛物线y2=2px(p>0),过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1与抛物线交于P、Q两点,l2与抛物线交于M、N两点,l1的斜率为k,某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为(eq \f(p,k2)+p,eq \f(p,k)),请你写出弦MN的中点坐标:________.
    10.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为eq \f(a2,4).类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.
    11.如图(1),在平面内有面积关系eq \f(S△PA′B′,S△PAB)=eq \f(PA′,PA)·eq \f(PB′,PB),写出图(2)中类似的体积关系,并证明你的结论.
    12. 如图所示,在△ABC中,射影定理可表示为a=b·cs C+c·cs B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.
    三、探究与拓展
    13.已知在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,有eq \f(1,AD2)=eq \f(1,AB2)+eq \f(1,AC2)成立.那么在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明猜想是否正确及给出理由.
    答案
    1.D 2.C
    3.A 4.eq \f(1,2)lr
    5.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x\t(x)=\f(x1+x2+x3+x4,4),\x\t(y)=\f(y1+y2+y3+y4,4),\x\t(z)=\f(z1+z2+z3+z4,4)))
    6.eq \f(T20,T10),eq \f(T30,T20),eq \f(T40,T30)也成等比数列,且公比为q100
    7.②
    8.①②③
    9.(pk2+p,-pk)
    10.eq \f(a3,8)
    11.解 类比eq \f(S△PA′B′,S△PAB)=eq \f(PA′,PA)·eq \f(PB′,PB),
    有eq \f(VP—A′B′C′,VP—ABC)=eq \f(PA′,PA)·eq \f(PB′,PB)·eq \f(PC′,PC)
    证明:如图(2):设C′,C到平面PAB的距离分别为h′,h.
    则eq \f(h′,h)=eq \f(PC′,PC),
    故eq \f(VP—A′B′C′,VP—ABC)=eq \f(\f(1,3)·S△PA′B′·h′,\f(1,3)SPAB·h)
    =eq \f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)
    =eq \f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).
    12.解 如图所示,在四面体P-ABC中,设S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
    我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为:S=S1·cs α+S2·cs β+S3·cs γ.
    13.解 类比AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD.则eq \f(1,AE2)=eq \f(1,AB2)+eq \f(1,AC2)+eq \f(1,AD2).猜想正确.
    如图所示,连接BE,并延长交CD于F,连接AF.
    ∵AB⊥AC,AB⊥AD,
    ∴AB⊥平面ACD.
    而AF⊂平面ACD,
    ∴AB⊥AF.
    在Rt△ABF中,AE⊥BF,
    ∴eq \f(1,AE2)=eq \f(1,AB2)+eq \f(1,AF2).
    在Rt△ACD中,AF⊥CD,
    ∴eq \f(1,AF2)=eq \f(1,AC2)+eq \f(1,AD2).
    ∴eq \f(1,AE2)=eq \f(1,AB2)+eq \f(1,AC2)+eq \f(1,AD2),
    故猜想正确.
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