数学选修1-2第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理达标测试

这是一份数学选修1-2第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理达标测试，共5页。试卷主要包含了基础过关，能力提升，探究与拓展等内容，欢迎下载使用。

1．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与lga(x＋y)类比，则有lga(x＋y)＝lgax＋lgay
B．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③
C．①②④ D．②④
3．在等差数列{an}中，若an<0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是( )
A．b4＋b8>b5＋b7
B．b5＋b7>b4＋b8
C．b4＋b7>b5＋b8
D．b4＋b5>b7＋b8
4．已知扇形的弧长为l，半径为的r，类比三角形的面积公式：S＝eq \f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇＝________.
5．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))的坐标公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x\t(x)＝\f(x1＋x2＋x3,3),\x\t(y)＝\f(y1＋y2＋y3,3)))(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z3)为顶点的四面体A—BCD的重心G(eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，eq \x\t(z))的公式为________．
6．公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有_____________________________________．
二、能力提升
7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．
①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交；
②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直；
③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行；
④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号)
①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于M、N两点，l1的斜率为k，某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为(eq \f(p,k2)＋p，eq \f(p,k))，请你写出弦MN的中点坐标：________.
10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为eq \f(a2,4).类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
11．如图(1)，在平面内有面积关系eq \f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq \f(PA′,PA)·eq \f(PB′,PB)，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．
12. 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cs C＋c·cs B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
三、探究与拓展
13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．
答案
1．D 2．C
3．A 4.eq \f(1,2)lr
5.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\x\t(x)＝\f(x1＋x2＋x3＋x4,4),\x\t(y)＝\f(y1＋y2＋y3＋y4,4),\x\t(z)＝\f(z1＋z2＋z3＋z4,4)))
6.eq \f(T20,T10)，eq \f(T30,T20)，eq \f(T40,T30)也成等比数列，且公比为q100
7．②
8．①②③
9．(pk2＋p，－pk)
10.eq \f(a3,8)
11．解 类比eq \f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq \f(PA′,PA)·eq \f(PB′,PB)，
有eq \f(VP—A′B′C′,VP—ABC)＝eq \f(PA′,PA)·eq \f(PB′,PB)·eq \f(PC′,PC)
证明：如图(2)：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则eq \f(h′,h)＝eq \f(PC′,PC)，
故eq \f(VP—A′B′C′,VP—ABC)＝eq \f(\f(1,3)·S△PA′B′·h′,\f(1,3)SPAB·h)
＝eq \f(PA′·PB′·h′,PA·PB·h)
＝eq \f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).
12．解 如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cs α＋S2·cs β＋S3·cs γ.
13．解 类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF⊂平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AF2).
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴eq \f(1,AF2)＝eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2)，
故猜想正确．