数学选修1-22.2直接证明与间接证明同步测试题

2.2.2　反证法

一、基础过关

1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是                (　　)

①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾

A．①②       B．①③

C．①③④       D．①②③④

2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为     (　　)

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

3．有下列叙述：

①“a>b”的反面是“a<b”；

②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；

③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；

④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．

其中正确的叙述有               (　　)

A．0个       B．1个

C．2个       D．3个

4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为                                                                                                                                                                                      (　　)

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a不能被5整除

5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为                                                                                                                                                          (　　)

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都不是偶数

C．a，b，c中至多一个是偶数

D．至多有两个偶数

6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___________________________．

7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为

__________________．

二、能力提升

8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为                                                                                                  (　　)

A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn＋1

D．存在正整数n，使xn≤xn＋1

9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)

A．都大于2

B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2

D．至少有一个不大于2

10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．

11．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，

求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

答案

1．D  2．D　3．B　4．B　5．B　

6．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

7．a，b不全为0

8．D  9．C 

10．a≤－2或a≥－1

11．证明　假设a，b，c，d都是非负数，

因为a＋b＝c＋d＝1，

所以(a＋b)(c＋d)＝1，

又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd>1，这与上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．

12．证明　假设三个式子同时大于，

即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，

三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①

又因为0<a<1，

所以0<a(1－a)≤()2＝.

同理0<b(1－b)≤，

0<c(1－c)≤，

所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤②

①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

13．证明　假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x0<0，且f(x0)＝0.

∴ax0＋＝0⇔ax0＝－.

∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－<1.

解上述不等式，得<x0<2.这与假设x0<0矛盾．

故方程f(x)＝0没有负数根．