章末检测

一、选择题

1． 由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是

(　　)

A．归纳推理         B．演绎推理

C．类比推理         D．特殊推理

2． 在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)

A．三角形的中位线平行于第三边

B．三角形的中位线等于第三边的一半

C．EF为中位线

D．EF∥BC

3． 用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是      (　　)

A．假设是有理数

B．假设是有理数

C．假设或是有理数

D．假设＋是有理数

4． 已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为     (　　)

A.          B.

C.           D.

5． 已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是                                                                                                                                            (　　)

A．正方形的对角线相等

B．矩形的对角线相等

C．正方形是矩形

D．其他

6． 对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中判断正确的个数为            (　　)

A．0个         B．1个

C．2个         D．3个

7． 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有                             (　　)

①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．

A．4个     B．3个    C．2个     D．1个

8． 数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于       (　　)

A.      B．－1    C．2      D．3

9． 定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值                                                                                                                (　　)

A．恒小于0        B．恒大于0

C．可能等于0        D．可正也可负

二、填空题

10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为_________．

11．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n个图有an个“树枝”，则an＋1与an(n≥2)之间的关系是______．

12．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．

三、解答题

13．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：

(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；

(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．

14．1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．

15．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．

16．设a，b，c为一个三角形的三边，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，试证：s<2a.

17．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－Sn(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；

(2)用三段论证明数列{an}是等比数列．

18．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．

(1)比较与的大小，并证明你的结论；

(2)求证：角B不可能是钝角．

答案

1．A  2．A　3．D　4．B　5．A　6．B　7．C　8．C　9．A　

10．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

11．an＋1＝2an＋1(n≥1)

12.＝

]13．解　(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，

则必和另一个相交．

结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，

则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，

又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，

∴必有γ∩β＝b.

(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．

14．解　假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则

1＝－md,2＝＋nd，

m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.

∵m为有理数，(＋1)n为无理数，

∴m≠(＋1)n.

∴假设不成立．

即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．

15．证明　当a＋b≤0时，∵≥0，

∴≥(a＋b)成立．

当a＋b>0时，用分析法证明如下：

要证≥(a＋b)，

只需证()2≥2，

即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.

∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，

∴≥(a＋b)成立．

综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．

16．证明　要证s<2a，由于s2＝2ab，

所以只需证s<，即证b<s.

因为s＝(a＋b＋c)，

所以只需证2b<a＋b＋c，即证b<a＋c.

由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．

于是原命题成立．

17．解　(1)由an＝2－Sn，得a1＝1；a2＝；a2＝；a4＝，猜想an＝()n－1(n∈N*)．

(2)对于通项公式为an的数列{an}，若＝p，p是非零常数，则{an}是等比数列，大前提

因为通项公式an＝()n－1，又＝，小前提

所以通项公式为an＝()n－1的数列{an}是等比数列．结论

18．(1)解　<.证明如下：

要证<，只需证<，

∵a，b，c>0，∴只需证b2<ac.

∵，，成等差数列，

∴＝＋≥2，∴b2≤ac，

又a，b，c均不相等，∴b2<ac成立．

故所得大小关系正确．

(2)证明　方法一　若角B是钝角，则cos B<0.

由余弦定理得，cos B＝≥>>0，

这与cos B<0矛盾，故假设不成立．

所以角B不可能是钝角．

方法二　若角B是钝角，则角B的对边b为最大边，

即b>a，b>c，

所以>>0，>>0，

则＋>＋＝，

这与＋＝矛盾，故假设不成立．

所以角B不可能是钝角．