人教版新课标A选修1-23.1数系的扩充和复数的概念同步练习题

 www.ks5u.com课时跟踪检测(五)　综合法和分析法

一、选择题

1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有(　　)

A．2个   B．3个

C．4个   D．5个

解析：选C　①②③⑤正确．

2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　)

A．f(x)＝   B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex   D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：选A　本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，

∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．

3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)

A．8   B．4

C．1  D.

解析：选B　是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，

因为a＞0，b＞0，

所以≤＝⇒ab≤，

所以＋＝＝≥＝4.

4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C　若A>B，则a>b，

又＝，∴sin A>sin B；

若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，∴A>B.

5．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则(　　)

A.≤f

B.＝f

C.≥f

D.＞f

解析：选D　因为x1≠x2，

所以

＝＞

＝a＋1＝f，

所以＞f.

二、填空题

6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了______________的证明方法．

解析：该证明过程符合综合法的特点．

答案：综合法

7．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．

解析：a＋b＞a＋b

⇔a－a＞b－b

⇔a(－)＞b(－)

⇔(a－b)(－)＞0

⇔(＋)(－)2＞0，

故只需a≠b且a，b都不小于零即可．

答案：a≥0，b≥0且a≠b

8．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝________.

解析：因为sin θ＋cos θ＝，

所以1＋sin 2θ＝，

所以sin 2θ＝－.

因为≤θ≤，

所以π≤2θ≤.

所以cos 2θ＝－＝－.

答案：－

三、解答题

9．求证：2cos(α－β)－＝.

证明：要证原等式成立，只需证：

2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，

左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]

＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)·sin α

＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α

＝sin β＝右边．

所以原等式成立．

10．设f(x)＝ln x＋－1，证明：

(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；

(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.

证明：(1)记g(x)＝ln x＋－1－(x－1)，

则当x＞1时，

g′(x)＝＋－＜0.

又g(1)＝0，

故g(x)＜0，

即f(x)＜(x－1)．

(2)记h(x)＝f(x)－，

则h′(x)＝＋－

＝－＜－

＝.

令p(x)＝(x＋5)3－216x，

则当1＜x＜3时，

p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，

因此p(x)在(1,3)内单调递减，

又p(1)＝0，

则p(x)＜0，

故h′(x)＜0.

因此h(x)在(1,3)内单调递减，

又h(1)＝0，

则h(x)＜0，

故当1＜x＜3时，

f(x)＜.