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    高中数学人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试综合训练题

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入综合与测试综合训练题,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

     www.ks5u.com阶段质量检测(三)

     

     (时间90分钟,满分120)

    一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50)

    1(江西高考)已知集合M{1,2zi}i为虚数单位,N{3,4}MN{4},则复数z(  )

    A.-2i          B2i

    C.-4i   D4i

    解析:C 由MN{4},知4M,故zi4

    z=-4i.

    2.复数z(i为虚数单位)的虚部为(  )

    A1   B.-1

    C±1   D0

    解析:B 因为z=-1i,所以复数z的虚部为-1.

    3.设abRi是虚数单位,则ab0复数a为纯虚数(  )

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件

    C.充要条件

    D.既不充分又不必要条件

    解析:B ab0a0b0.由复数aabi为纯虚数,得a0b0.ab0复数a为纯虚数的必要不充分条件.

    4.复数z的共轭复数是(  )

    A2i   B2i

    C.-1i   D.-1i

    解析:D z=-1i

    所以其共轭复数为=-1i.

    5.在复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点分别为AB,若点C为线段AB的中点,则点C对应的复数为(  )

    A.   B1

    C.i   Di

    解析:A ii,故在复平面内对应的点AB,故点C,对应的复数为.

    6(安徽高考)i是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若z1i,则(  )

    A.-2   B.-2i

    C2   D2i

    解析:C 因为z1i,所以=-i1i12.

    7(陕西高考)z1z2是复数,则下列命题中的假命题是(  )

    A.若|z1z2|0,则

    B.若z1,则z2

    C.若|z1||z2|,则z1·z2·

    D.若|z1||z2|,则zz

    解析:D 对于A|z1z2|0z1z2,是真命题;对于BC,易判断是真命题;对于D,若z12z21i,则|z1||z2|,但z4z=-22i,是假命题.

    8.在复平面内,若zm2(1i)m(4i)6i所对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围是(  )

    A(0,3)   B(,-2)

    C(2,0)   D(3,4)

    解析:D 整理得z(m24m)(m2m6)i,对应的点位于第二象限,则解得3m4.

    9.定义运算adbc,则符合条件42i的复数z(  )

    A3i   B13i

    C3i   D13i

    解析:A 由定义知ziz

    ziz42i,即z3i.

    10.若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根,则(  )

    Ab2c3   Bb=-2c3

    Cb=-2c=-1   Db2c=-1

    解析:B 因为1i是实系数方程的一个复数根,所以1i也是该方程的根,

    1i1i2=-b

    (1i)(1i)3c

    解得b=-2c3.

    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20)

    11.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数的共轭复数是________

    解析:由题图知z2i

    i

    其共轭复数是-i.

    答案:i

    12.计算:[(12i)·i100i]230________.

    解析:原式=[(12i)i]2

    (1i)2i3i.

    答案:3i

    13a为正实数,i为虚数单位,2,则a________.

    解析:1ai

    |1ai| 2

    所以a23.

    又因为a为正实数,所以a.

    答案:

    14.已知复数zabi(abR),则复数z在复平面对应的点位于第________象限.

    解析:abR

    5a5ai2b4bi155i

    解得

    z710i.

    z对应的点位于第四象限.

    答案:

    三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    15(本小题满分12)实数k为何值时,复数z(k23k4)(k25k6)i满足下列条件?

    (1)实数;

    (2)虚数;

    (3)纯虚数;

    (4)0.

    解:(1)k25k60

    k6k=-1时,z是实数.

    (2)k25k60

    k6k1时,z是虚数.

    (3)k4时,z是纯虚数.

    (4)k=-1时,z0.

    16(本小题满分12)已知复数z123iz2.求:

    (1)z1z2

    (2).

    解:因为z2

    13i

    所以(1)z1z2(23i)(13i)=-79i.

    (2)i.

    17(本小题满分12)已知复数z1满足(1i)z1=-15iz2a2i,其中i为虚数单位,aR,若|z1||z1|,求a的取值范围.

    解:z123i

    z2a2ia2i

    |z1||(23i)(a2i)||4a2i|

    .

    |z1||z1||z1|

    a28a70,解得1a7.

    a的取值范围是(1,7)

    18(本小题满分14)已知z是复数,z2i均为实数(i为虚数单位),且复数(zai)2在复平面上对应的点位于第一象限,求实数a的取值范围.

    解:zxyi(xyR)

    z2ix(y2)i

    z2i为实数,得y=-2.

    (x2i)(2i)

    (2x2)(x4)i

    为实数,得x4.

    z42i.

    (zai)2(124aa2)8(a2)i

    根据条件,可知

    解得2<a<6.

    实数a的取值范围是(2,6)

     

    (时间90分钟,满分120)

    一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50)

    1.下面三个命题:

    0比-i大;

    两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数时成立;

    xyi1i的充要条件为xy1.

    其中,正确命题的个数是(  )

    A0           B1

    C2   D3

    解析:A 中实数与虚数不能比较大小;两个复数互为共轭复数时其和为实数,但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数;xyi1i的充要条件为xy1是错误的,因为没有标明xy是否是实数.

    2.若复数 z满足z(1i)2i(i为虚数单位),则|z|(  )

    A1   B2

    C.   D.

    解析:C 法一:zabi(abR)

    则由z(1i)2i,得(abi)·(1i)2i

    所以(ab)(ab)i2i

    由复数相等的条件得

    解得ab1,所以z1i

    |z|.

    法二:z(1i)2i

    zii21i

    所以|z|.

    3.如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为等部复数,若复数z(1ai)·i等部复数,则实数a的值为(  )

    A.-1   B0

    C1   D2

    解析:A 由已知可得z(1ai)·i=-ai

    所以-a1,即a=-1.

    4.已知aR,且0<a<1i为虚数单位,则复数za(a1)i在复平面内所对应的点位于(  )

    A.第一象限   B.第二象限

    C.第三象限   D.第四象限

    解析:D 0<a<1a>0a1<0

    故复数za(a1)i在复平面内所对应的点(aa1)位于第四象限.故选D.

    5.已知复数z,则z的实部为(  )

    A1   B2

    C.-2   D.-1

    解析:D 因为z=-12i,故z的实部为-1.

    6.已知ab是实数,设i是虚数单位,若ai,则复数abi(  )

    A2i   B2i

    C12i   D12i

    解析:C 因为ai,整理得(ai)(1i)bi

    (a1)(a1)ibi

    由复数相等的条件得

    解得

    abi12i,故选C.

    7.在复平面内,向量对应的复数是2i,向量对应的复数是-13i,则向量对应的复数为(  )

    A12i   B.-12i

    C34i   D.-34i

    解析:D =-13i2i=-34i.

    8.对任意复数zxyi(xyR)i为虚数单位,则下列结论正确的是(  )

    A|z|2y   Bz2x2y2

    C|z|2x   D|z||x||y|

    解析:D |z||x||y|D正确.

    9.定义运算adbc,则符合条件42i的复数z(  )

    A3i   B13i

    C3i   D.-13i

    解析:D 由已知得ziz42i

    z=-13i.

    10.已知f(x)x2i是虚数单位,则在复平面中复数对应的点在(  )

    A.第一象限   B.第二象限

    C.第三象限   D.第四象限

    解析:A 因为i,所以选A.

    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20)

    11.在复平面内,复数1i与-13i分别对应向量,其中O为坐标原点,则||________.

    解析:由题意知A(1,1)B(1,3)

    ||2.

    答案:2

    12.设复数z满足iz=-3i(i为虚数单位),则z的实部为________

    解析:iz=-3i

    z13i

    z的实部为1.

    答案:1

    13.已知i为虚数单位,复数z13aiz212i,若在复平面内对应的点在第四象限,则实数a的取值范围为________

    解析:i

    因为在复平面内对应的点在第四象限,

    所以6<a<.

    答案:

    14.对于任意两个复数z1x1y1iz2x2y2i(x1y1x2y2为实数),定义运算为:z1z2x1x2y1y2.设非零复数ω1ω2在复平面内对应的点分别为P1P2,点O为坐标原点.如果ω1ω20,那么在P1OP2中,P1OP2的大小为________

    解析:1x1y1i2x2y2i(x1y1x2y2为实数)ω1ω20,由定义知x1x2y1y20

    12∴∠P1OP2.

    答案:

    三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    15(本小题满分12)复数z|z|4z对应的点在第一象限内,若复数0z对应的点是正三角形的三个顶点,求实数ab的值.

    解:z(abi)2i·i·(abi)

    =-2a2bi

    |z|4,得a2b24.

    复数0z对应的点是正三角形的三个顶点,

    |z||z|

    z=-2a2bi代入化简,得|b|1.

    z对应的点在第一象限内,

    a<0b<0.

    ①②,得故所求a=-b=-1.

    16(本小题满分12)已知z(a>0),复数ωz(zi)的虚部减去它的实部所得的差等于,求复数ω.

    解:由已知,ω×

    i

    a2(a>0)ω3i.

    17(本小题满分12)已知zi1是方程z2azb0的一个根.

    (1)求实数ab的值.

    (2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.

    解:(1)zi1代入z2azb0

    (ab)(a2)i0a2b2.

    (2)猜测:-1i是方程的另一个根.

    证明:设另一个根为x2,由根与系数的关系,

    i1x2=-2x2=-1i.

    x2=-1i代入方程左边得(1i)22(1i)22i22i20=右边,

    x2=-1i是方程的另一个根.

    18(本小题满分14)已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.

    (1)求实数ab的值.

    (2)若复数z满足|zabi|2|z|0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.

    解:(1)b是方程x2(6i)x9ai0(aR)的实数根,

    (b26b9)(ab)i0

    解得ab3.

    (2)zxyi(xyR)

    |z33i|2|z|

    (x3)2(y3)24(x2y2)

    (x1)2(y1)28

    Z点的轨迹是以O1(1,1)为圆心,2为半径的圆.

    如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.

    |OO1|,半径r2

    z1i时,|z|有最小值,且|z|min.

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