高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明同步达标检测题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2016·保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为(　　)

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电

B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)

C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π

D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2

【解析】　A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．

【答案】　C

2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.

证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的(　　)

A．大前提 B．小前提

C．结论 D．三段论

【解析】　结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．

【答案】　B

3．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理错误的是(　　)

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提都错导致结论错

【解析】　大前提y＝logax是增函数错误，当0<a<1时，函数y＝logax是减函数．

【答案】　A

4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)

A．三角形的中位线平行于第三边

B．三角形的中位线等于第三边的一半

C．EF为中位线

D．EF∥CB

【解析】　三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.

【答案】　A

5．定义运算“⊗”为：a⊗b＝ab＋a2＋b2，若1⊗m<3，则m的取值范围是(　　)

【导学号：19220017】

A．(－2,1) B．(－1,2)

C．(－2，－1) D．(1,2)

【解析】　依题意，1⊗m<3，即m＋1＋m2<3，整理得m2＋m－2<0，解得－2<m<1，所以m的取值范围是(－2,1)．

【答案】　A

二、填空题

6．以下推理过程省略的大前提为________．

因为a2＋b2≥2ab，

所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.

【解析】　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.

【答案】　若a≥b，则a＋c≥b＋c

7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：

设a，b与面α分别相交于A，B，连接A，B，

∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，①

∴a⊥AB，b⊥AB，②

∴a∥b.③

这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．

【解析】　②⇒③时，大前提错误，导致结论错误．

【答案】　②⇒③

8．“如图2­1­7，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．

图2­1­7

证明：在△ABC中，

因为CD⊥AB，AC>BC，①

所以AD>BD，②

于是∠ACD>∠BCD.③

则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．

【解析】　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．

【答案】　③

三、解答题

9．用三段论证明通项公式为an＝cqn(c，q为常数，且cq≠0)的数列{an}是等比数列．

【证明】　设an＋1，an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，

因为＝＝q(常数)(小前提)，

所以{an}是等比数列．(结论)

10．已知a>0且函数f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．

【解】　由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，即＋＝＋，所以＋a·2x＝＋，整理得(2x－2－x)＝0，必有a－＝0.又因为a>0，所以a＝1.

[能力提升]

1．(2016·海淀区模拟)下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中(　　)

A．大前提错误 B．小前提错误

C．结论正确 D．推理形式错误

【解析】　f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.

【答案】　A

2．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(　　)

A．自然数集 B．整数集

C．有理数集 D．无理数集

【解析】　A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．

【答案】　C

3．(2016·西城高二检测)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.

【解析】　∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．

令b＝1，则＝f(1)＝2(小前提)．

∴＝＝…＝＝2(结论)，

∴原式＝2＋2＋…＋＝2 018.

【答案】　2 018

4．设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，….

(1)求a2，a3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．

【解】　(1)a2＝a1＋＝a＋，

a3＝a2＝a＋.

(2)∵a4＝a3＋＝a＋，

∴a5＝a4＝a＋.

∴b1＝a1－＝a－≠0，

b2＝a3－＝，

b3＝a5－＝.

猜想{bn}是公比为的等比数列．

证明如下：

∵bn＋1＝a2n＋1－

＝－

＝

＝bn(n∈N*)，

∴{bn}是首项为a－，公比为的等比数列.