数学选修1-23.1数系的扩充和复数的概念课后练习题

这是一份数学选修1-23.1数系的扩充和复数的概念课后练习题，共5页。

1．(2016·长春高二检测)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8iB．8＋2i
C．2＋4iD．4＋i
【解析】 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为2＋4i.
【答案】 C
2．复数z＝1＋3i的模等于( )
A．2B．4
C.eq \r(10)D．2eq \r(2)
【解析】 |z|＝|1＋3i|＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，故选C.
【答案】 C
3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1)B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵|z1|＝eq \r(a2＋4)，|z2|＝eq \r(5)，
∴eq \r(a2＋4)【答案】 A
4．在复平面内，O为原点，向量eq \(OA,\s\up15(→))对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量eq \(OB,\s\up15(→))对应的复数为( )
A．－2－iB．－2＋i
C．1＋2iD．－1＋2i
【解析】 因为A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以向量eq \(OB,\s\up15(→))对应的复数为－2＋i.
【答案】 B
5．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－eq \r(5)，则z为( )
【导学号：19220042】
A．－eq \r(5)＋2iB．－eq \r(5)－2i
C．－eq \r(5)＋3iD．－eq \r(5)－3i
【解析】 设z＝－eq \r(5)＋bi(b∈R)，由|z|＝eq \r(－\r(5)2＋b2)＝3，解得b＝±2，又复数z对应的点在第二象限，则b＝2，
∴z＝－eq \r(5)＋2i.
【答案】 A
二、填空题
6．在复平面内，复数z与向量(－3,4)相对应，则|z|＝________.
【解析】 由题意知z＝－3＋4i，
∴|z|＝eq \r(－32＋42)＝5.
【答案】 5
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
【解析】 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－6x＋5<0，x－2<0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1∴1【答案】 (1,2)
8．已知△ABC中，eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则eq \(BC,\s\up15(→))对应的复数为________．
【解析】 因为eq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AC,\s\up15(→))对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，
所以eq \(AB,\s\up15(→))＝(－1,2)，eq \(AC,\s\up15(→))＝(－2，－3)．
又eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \(AC,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以eq \(BC,\s\up15(→))对应的复数为－1－5i.
【答案】 －1－5i
三、解答题
9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？
【解】 ∵|z|＝2，
∴eq \r(x＋32＋y－22)＝2，
即(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
∴点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．
10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y＝x上．
【解】 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－3>0，m2－5m－14<0，))
得3(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－3>0，m2－5m－14>0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－3<0，m2－5m－14<0，))
∴m>7或－2此时复数z对应的点位于第一、三象限．
(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需
m2－5m－14＝m－3，
∴m2－6m－11＝0，
∴m＝3±2eq \r(5)，
此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．
[能力提升]
1．(2016·吉林高二检测)已知a∈R，且0A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】 ∵00，且a－1<0，
故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．
【答案】 D
2．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是( )
A．直线
B．圆心在原点的圆
C．圆心不在原点的圆
D．椭圆
【解析】 因为a，x，y∈R，所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋2a＋2xy＝0，a＋x－y＝0，))消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为eq \r(2)的圆．
【答案】 C
3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq \r(5)，则复数z＝________.
【解析】 依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq \r(5)，得eq \r(a2＋4a2)＝eq \r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
【答案】 1＋2i或－1－2i
4．(2016·黄山高二检测)已知O为坐标原点，eq \(OZ1,\s\up15(→))对应的复数为－3＋4i，eq \(OZ2,\s\up15(→))对应的复数为2a＋i(a∈R)．若eq \(OZ1,\s\up15(→))与eq \(OZ2,\s\up15(→))共线，求a的值.
【导学号：19220043】
【解】 因为eq \(OZ1,\s\up15(→))对应的复数为－3＋4i，
eq \(OZ2,\s\up15(→))对应的复数为2a＋i，
所以eq \(OZ1,\s\up15(→))＝(－3,4)，eq \(OZ2,\s\up15(→))＝(2a,1)．
因为eq \(OZ1,\s\up15(→))与eq \(OZ2,\s\up15(→))共线，所以存在实数k使eq \(OZ2,\s\up15(→))＝keq \(OZ1,\s\up15(→))，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝－3k，1＝4k，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,4)，a＝－\f(3,8)，))
即a的值为－eq \f(3,8).