高中数学人教版新课标A选修1-2第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理课时练习

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课时提升作业 四

　演绎推理

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是(　　)

A.①      B.②

C.①②     D.③

【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.

2.(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于　(　　)

A.演绎推理   B.类比推理

C.合情推理   D.归纳推理

【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.

3.(2016·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理　(　　)

A.小前提错误  B.结论错误

C.正确    D.大前提错误

【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.

4.(2016·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数　

(　　)

A.     B.

C.    D.(2π,3π)

【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π<x<2π.

5.(2016·三明高二检测)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=　(　　)

A.f(x)    B.-f(x)

C.g(x)    D.-g(x)

【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2016·大连高二检测)若不等式ax2+2ax+2<0的解集为,则实数a的取值范围为________.

【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为.

②a≠0时,需有即解得0<a≤2.

综合上述,a的取值范围为.

答案:

7.有一段演绎推理:

大前提:整数是自然数;

小前提:-3是整数;

结论:-3是自然数.

这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).

【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.

答案:大前提

8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.

【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.

即a-=0,得a=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.把下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)一切奇数都不能被2整除,(22015+1)是奇数,所以(22015+1)不能被2整除.

(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;

(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.

【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提

22015+1是奇数,…………………………………………………………………小前提

22015+1不能被2整除.…………………………………………………………结论

(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提

y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提

y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论

(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提

△ABC三边的长依次为3,4,5,

且32+42=52, …………………………………………………………………小前提

△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论

10.(2016·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.

【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,

那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提

Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提

所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.

……………………………………………………………………………………结论

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为　(　　)

A.大前提错误    B.小前提错误

C.推理形式错误    D.非以上错误

【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.

2.(2016·海港高二检测)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则四边形ABCD一定是　(　　)

A.直角梯形    B.矩形

C.正方形     D.菱形

【解析】选D.由+=0可得AB∥CD且AB=CD.

由(-)·=0即·=0

可知BD⊥AC.

故四边形ABCD是菱形.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则

f+f+…+f+f=________.

【解析】因为f(x)===2+.

f(1-x)=2+=2-,

所以f(x) +f(1-x)=4,

所以f+f=4,…,

f+f=4,

所以f+f+…+f+f=4×1007=4028.

答案:4028

4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,则AF与平面PEC的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)

【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.

所以AB∥CD且AB=CD.

又点E,F分别是AB,CD的中点.

所以CF∥AE且CF=AE.

所以四边形AECF为平行四边形.

所以AF∥CE,

又AF⊄平面PEC,CE⊂平面PEC.

所以AF∥平面PEC.

答案:平行

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2016·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.

(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.

(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.

【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.

因为AC=BC=,AB=2,

所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.

因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.

又平面ADB⊥平面ABC

且平面ADB∩平面ABC=AB,

所以DE⊥平面ABC.

所以DE⊥CE,

由已知得DE=AB=,CE=1.

所以在Rt△CDE中,CD==2.

(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.

证明如下:

当D在平面ABC内时

因为BC=AC,AD=BD,

所以C,D都在AB的垂直平分线上.

所以AB⊥CD.

当D不在平面ABC内时,

由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,

又DE∩CE=E,

所以AB⊥平面CDE,

又CD⊂平面CDE.

所以AB⊥CD.

综合上述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.

6.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.

(1)求证:|c|≤1.

(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.

【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.

【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,

所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.

(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,

所以g(-1)≤g(x)≤g(1).

又g(1)=a+b=f(1)-c,

g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,

所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,

又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,

所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,

所以-2≤g(x)≤2.

当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2.

当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,

g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.

综上所述,-2≤g(x)≤2.

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