2021学年1.4全称量词与存在量词课时作业

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列命题为特称命题的是(　　)

A．奇函数的图象关于原点对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．棱锥仅有一个底面

D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0

【解析】　A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.

【答案】　D

2．下列命题为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，cos x<2

B．∃x∈Z，log2(3x－1)<0

C．∀x>0，3x>3

D．∃x∈Q，方程x－2＝0有解

【解析】　A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔<x<，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，x－2＝0⇔x＝∉Q ，所以D是假命题．故选A.

【答案】　A

3．下列命题的否定是真命题的是(　　)

A．存在向量m，使得在△ABC中，m∥且m∥

B．所有正实数x，都有x＋≥2

C．所有第四象限的角α，都有sin α<0

D．有的幂函数的图象不经过点(1，1)

【解析】　A中，当m＝0时，满足m∥且m∥，所以A是真命题，其否定是假命题；B中，由于x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝即x＝1时等号成立，所以B是真命题，其否定是假命题；C中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C是真命题，其否定是假命题；D中，对于幂函数f(x)＝xα，均有f(1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1，1)，所以D是假命题，其否定是真命题，故选D.

【答案】　D

4．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(　　)

A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)

B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)

C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)

D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)

【解析】　f(x)＝ax2＋bx＋c＝a＋(a>0)，

∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，

当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，

∴∀x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．

【答案】　C

5．对下列命题的否定说法错误的是(　　)

A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃n∈N，2n≤100；綈p：∀n∈N，2n＞100

【答案】　C

二、填空题

6．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是_____________．

【解析】　题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．

【答案】　有些偶函数的图象关于y轴不对称

7．已知命题：“∃x0∈[1，2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．

【解析】　当x∈[1，2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.

【答案】　[－8，＋∞)

8．下列命题：

①存在x<0，使|x|>x；

②对于一切x<0，都有|x|>x；

③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N*，都有an≠bn；

④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.

其中，所有正确命题的序号为________. 【导学号：18490027】

【解析】　命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有an<bn，即an≠bn，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，A∩B＝{6}，故为假命题．

【答案】　①②③

三、解答题

9．写出下列命题的否定：

(1)p：一切分数都是有理数；

(2)q：有些三角形是锐角三角形；

(3)r：∃x0∈R，x＋x0＝x0＋2；

(4)s：∀x∈R，2x＋4≥0.

【解】　(1)綈p：有些分数不是有理数．

(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形．

(3)綈r：∀x∈R，x2＋x≠x＋2.

(4)綈s：∃x0∈R，2x0＋4＜0.

10．若x∈[－2，2]，关于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．

【解】　设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则此问题转化为当x∈[－2，2]时，f(x)min≥0即可．

①当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2，2]上单调递增，

f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤.

又因为a>4，所以a不存在．

②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，

f(x)min＝f＝≥0，解得－6≤a≤2.

又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.

③当－>2，即a<－4时，

f(x)在[－2，2]上单调递减，

f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，

解得a≥－7.

又因为a<－4，所以－7≤a<－4.

综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．

[能力提升]

1．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q：∀x∈，cos x＜1，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q　　　　　　 B．p∨(綈q)

C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)

【解析】　当x0＜0时，2x0＞3x0，

∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然∀x∈，恒有0<cos x＜1，∴命题q为真，∴(綈p)∧q是真命题．

【答案】　C

2．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　)

A．綈p：∃x∈A，2x∈B B．綈p：∃x∉A，2x∈B

C．綈p：∃x∈A，2x∉B D．綈p：∀x∉A，2x∉B

【解析】　命题p是全称命题： ∀x∈M，p(x)，则綈p是特称命题：∃x∈M，綈p(x)．故选C.

【答案】　C

3．已知函数f(x)＝x2＋m，g(x)＝，若对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．

【解析】　因为对任意x1∈[－1，3]，f(x1)∈[m，9＋m]，即f(x)min＝m.存在x2∈[0，2]，使f(x1)≥g(x2)成立，只要满足g(x)min≤m即可，而g(x)是单调递减函数，故g(x)min＝g(2)＝＝，得m≥.

【答案】　

4．已知a>且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)＝的定义域为R，如果p∨q为真，试求a的取值范围. 【导学号：18490028】

【解】　若p为真，则0<2a－1<1，得<a<1.

若q为真，则x＋|x－a|－2≥0对∀x∈R恒成立．

记f(x)＝x＋|x－a|－2，

则f(x)＝

所以f(x)的最小值为a－2，即q为真时，a－2≥0，即a≥2.

于是p∨q为真时，得<a<1或a≥2，故a的取值范围为∪[2，＋∞)．