高中人教版新课标A2.2椭圆第2课时课时练习

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知椭圆＋＝1上的焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝(　　)

A．2　 B．4　　

C．4　　　 D．8

【解析】　由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF1为平行四边形，

∴|AF1|＝|FD|，同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.

【答案】　D

2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)

C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)

【解析】　由

消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.

若直线与椭圆有两个公共点，

则

解得

由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.

【答案】　B

3．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)

A.

B.∪

C.

D.

【解析】　因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.

【答案】　B

4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　)

A. B.

C.  D.

【解析】　联立方程组可得

得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，

则x0＝＝，

y0＝1－x0＝1－＝.

∴kOP＝＝＝.故选A.

【答案】　A

5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝(　　)

A. B．2

C. D．3

【解析】　设点A(2，n)，B(x0，y0)．

由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，

∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．

由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．

∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.

∴x0＝，y0＝n.

将x0，y0代入＋y2＝1，得

×＋＝1.

解得n2＝1，

∴||＝＝＝.

【答案】　A

二、填空题

6．若直线x－y－m＝0与椭圆＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________. 【导学号：18490053】

【解析】　将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，

令Δ＝0，解得m＝±.

【答案】　±

7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．

【解析】　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，

由消去y，得3x2－4x＝0.

∴A(0，－1)，B.

∴|AB|＝，

∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.

【答案】　

8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

【解析】　由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组

解得A(0，－2)，B，

∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.

【答案】　

三、解答题

9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

【解】　(1)由题意得消去y，整理得：

5x2＋2mx＋m2－1＝0.

∵直线与椭圆有公共点，

∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，

∴－≤m≤.

(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由(1)得

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·

＝.

∵－≤m≤，

∴0≤m2≤，

∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.

10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求k的值．

【解】　(1)由题意得

解得b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由

得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝

＝

＝，

又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离

d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，

由＝，

化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.

[能力提升]

1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于(　　)

A．0 B．2

C．4 D．－2

【解析】　由题意得c＝＝，

又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，

所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，

此时∠F1PF2＝120°.

所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.

故选D.

【答案】　D

2．过椭圆＋＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是(　　)

A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0

C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0

【解析】　设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程组

两式作差可得：

5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)， ①

又弦的中点为(2，－1)，

可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，  ②

将②代入①式可得k＝＝，

故直线的方程为y＋1＝(x－2)，

化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.

【答案】　C

3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________. 【导学号：18490054】

【解析】　法一　设直线l的方程为y＝x＋t，

由消去y，得

＋(x＋t)2＝1，

整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.

∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，

∴－<t<.

设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝.

∴|AB|＝

＝

＝.

当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.

法二　根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，

故|AB|＝.

【答案】　

4．(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．

【解】　(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.

过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，

代入椭圆方程有＋＝1，

解得y＝±，于是＝，

解得b＝，

又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组消去y，

整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

可得x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为A(－，0)，B(，0)，

所以·＋·

＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)

＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝6＋.

由已知得6＋＝8，

解得k＝±.