1．1.3　导数的几何意义

[学习目标]

1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．

2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．

3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．

[知识链接]

　如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？

答　

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.当点

B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .

[预习导引]

1．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数的导函数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .

要点一　过曲线上一点的切线方程

例1　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．

解　∵y＝x3＋3ax.

∴y′＝

＝

＝ [3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.

设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，

结合已知条件，得

解得

∴a＝1－.

规律方法　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝ ＝ ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．

跟踪演练1　求曲线y＝在点处的切线方程．

解　因为 ＝ ＝

 ＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.

要点二　求过曲线外一点的切线方程

例2　已知曲线y＝2x2－7，求：

(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．

解　y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.

(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，

∴切点坐标为(1，－5)．

(2)由于点P(3,9)不在曲线上．

设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，

故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．

将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，

得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．

解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．

从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.

规律方法　若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

跟踪演练2　求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．

解　易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由

y′|x＝x0＝ ＝－，

得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．

由点(2,0)在直线上，得xy0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.

要点三　求切点坐标

例3　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)与x轴成135°的倾斜角．

解　f′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．

(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，

所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，

即P(2,4)是满足条件的点．

(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，

所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，

即P是满足条件的点．

(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，

所以其斜率为－1.即2x0＝－1，

得x0＝－，y0＝，

即P是满足条件的点．

规律方法　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．

跟踪演练3　已知抛物线y＝2x2＋1，求

(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?

解　设点的坐标为(x0，y0)，则

Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.

∴＝4x0＋2Δx.

当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.

即f′(x0)＝4x0.

(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴斜率为4，

即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．

(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴斜率为8，

即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．

1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　)

A．4  B．16

C．8  D．2

答案　C

解析　f′(2)＝

＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，即k＝8.

2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．a＝1，b＝1  B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1  D．a＝－1，b＝－1

答案　A

解析　由题意，知k＝y′|x＝0

＝ ＝1，∴a＝1.

又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.

3．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为(　　)

A．30°  B．45°

C．135°  D．165°

答案　B

解析　∵y＝x2－2，

∴y′＝

＝

＝ ＝x.

∴y′|x＝1＝1.∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.

4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．

答案　(3,30)

解析　设点P(x0,2x＋4x0)，

则f′(x0)＝

＝ ＝4x0＋4，

令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

一、基础达标

1．下列说法正确的是(　　)

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在

答案　C

解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.

2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)>f′(xB)

B．f′(xA)<f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)

D．不能确定

答案　B

解析　由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．

3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　)

A．(0,0)  B．(2,4)

C．(，)  D．(，)

答案　D

解析　∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，

∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝2＝，所求点的坐标为.

4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)

A．1  B．

C．－  D．－1

答案　A

解析　∵y′|x＝1＝

＝ (2a＋aΔx)＝2a.∴可令2a＝2，∴a＝1.

5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件 ＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．

答案　－4

解析　由 ＝－2，∴f′(1)＝－2，f′(1)＝－4.

6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

答案　3

解析　由在M点的切线方程y＝x＋2

得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝.

∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.

7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

解　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率

k＝y′|x＝1＝

＝ (3Δx＋2)＝2.

∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，

由点斜式得y－2＝2(x＋1)，

即2x－y＋4＝0.

所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.

二、能力提升

8.

如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)

A．2  　　 B．3

C．4  　　 D．5

答案　A

解析　易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.

9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.

答案　3

解析　设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，

∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P＝1，即P＝3.

10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．

答案　

解析　∵f′(x)＝

＝ ＝ (Δx＋2x＋2)＝2x＋2.

∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，∴点P横坐标的取值范围为.

11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：

(1)它们的交点；

(2)抛物线在交点处的切线方程．

解　(1) 由得或

∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．

(2)∵y＝x2＋4，

∴y′＝

＝

＝ (Δx＋2x)＝2x.

∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，

即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.

∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；

在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.

12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

解　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)

＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，

∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.

当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.

即f′(x0)＝3x＋2ax0－9

∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.

当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.

∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，

∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12.

解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.

三、探究与创新

13．已知曲线C：y＝x3.

(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

解　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，

∴切点为P(1,1)．∵f′(x0)＝ ＝m

＝

＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，

∴当x0＝1时，k＝f′(1)＝3.

∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，

即3x－y－2＝0.

(2)由，可得(x－1)(x2＋x－2)＝0，

解得x1＝1，x2＝－2.

从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．

说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有其他的公共点.