高中数学人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用1.4生活中的优化问题举例当堂检测题

1.4　生活中的优化问题举例

[学习目标]

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

[知识链接]

　设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式≥(a，b＞0)?

答　设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为

f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x.

令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝.

故当x＝时，f(x)有最大值f＝，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的.

若设这两个正数分别为a，b，则有≥ab(a＞0，b＞0)，即≥(a，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．

[预习导引]

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

3．解决优化问题的基本思路是

←

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

要点一　用料最省问题

例1　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解　

如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)．

∴y′＝－3a＋.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)

在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．

规律方法　用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

跟踪演练1　一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

解　设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006，于是有p＝0.006v3.

又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：

q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.

q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，

令q′＝0，解得v＝20.∵当v<20时，q′<0；

当v>20时，q′>0，

∴当v＝20时，q取得最小值，

即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．

要点二　面积、容积的最值问题

例2　如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

解　设广告的高和宽分别为x cm，y cm，

则每栏的高和宽分别为x－20 cm， cm，

其中x>20，y>25.

两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，

由此得y＝＋25.

广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，

∴S′＝＋25＝＋25.

令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.

∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．

当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．

规律方法　(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤

①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．

跟踪演练2　圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解　

如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S＝2πRh＋2πR2，

由V＝πR2h，得h＝，

则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，

令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，

从而h＝＝＝ ＝2 ，即h＝2R.

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．

所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．

要点三　成本最省，利润最大问题

例3　甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解　(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为

y＝a·＋bv2·＝s，

∴所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]

(2)由题意s、a、b、v均为正数．

y′＝s＝0得v＝ .但v∈(0，c]．

①若≤c，则当v＝ 时，全程运输成本y最小；

②若 >c，则v∈(0，c]，

此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．

所以当v＝c时，y最小．

综上可知，为使全程运输成本y最小，

当 ≤c时，行驶速度v＝ ；

当 >c时，行驶速度v＝c.

规律方法　正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：

①合理选择变量，正确给出函数关系式．

②与实际问题相联系．

③必要时注意分类讨论思想的应用．

跟踪演练3　已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？

解　收入R＝q·p＝q＝25q－q2，

利润L＝R－C＝－(100＋4q)

＝－q2＋21q－100(0<q<200)

L′＝－q＋21

令L′＝0，即－q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.

所以产量为84时，利润L最大．

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)

A．8  B．

C．－1  D．－8

答案　C

解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　　)

A.  B．

C．  D．2

答案　C

解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.

3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

解　设箱底边长为x cm，则箱高h＝ cm，箱子容积V(x)＝x2h＝(0＜x＜60)．

V′(x)＝60x－x2令V′(x)＝60x－x2＝0，

解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.

由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．

答　当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.

4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，

依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0<x≤120)，

h′(x)＝－＝(0<x≤120)．

令h′(x)＝0，得x＝80.

因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；

x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，

所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．

因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答　汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．

2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．

一、基础达标

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)

A．4  B．6

C．4.5  D．8

答案　A

解析　设底面边长为x，高为h，

则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，

∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，

∴S′(x)＝2x－.

令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)

A．0.016 2  B．0.032 4

C．0.024 3  D．0.048 6

答案　B

解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．

所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.

令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．

当0<x<0.032 4时，y′>0；

当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0.

所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．

3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)

A.3π  B．3π

C．3π  D．3π

答案　A

解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.

则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，

∴r＝是其唯一的极值点．

∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.

4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(　　)

A．120 000 cm3  B．128 000 cm3

C．150 000 cm3  D．158 000 cm3

答案　B

解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．

水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (0<x<120)．

V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 cm时，V取最大值为128 000 cm3.

5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

答案　3

解析　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，

∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．

6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．

答案　40

解析　由题设知y′＝x2－39x－40，

令y′＞0，解得x＞40，或x＜－1，

故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．

由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.

7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

解　

设版心的高为x dm，则版心的宽为

 dm，此时四周空白面积为

S(x)＝(x＋4)－128

＝2x＋＋8，x>0.

求导数，得S′(x)＝2－.

令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．

于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；

当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.

因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．

所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．

二、能力提升

8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)

A. cm2  B．4  cm2

C．3 cm2  D．2 cm2

答案　D

解析　设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.

9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)

A．150  B．200

C．250  D．300

答案　D

解析　由题意得，总利润

P(x)＝

令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.

10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．

答案　6　3

解析　设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝.(0<a<30)

令y′＝＝0

得a＝6或a＝－10(舍去)．

∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．

当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，

即n＝－1.

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x

＝256＋(2＋)x

＝＋m＋2m－256.

(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．

令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.

当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；

当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．

此时n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．

12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？

解　设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.

则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．

由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，

∴f(x)＝a(0＜x＜100)．

令f′(x)＝＝0，

得x＝10.

当0<x<10时，f′(x)<0；

当10<x<100时，f′(x)>0.

∴当x＝10时，f(x)有最小值，

即速度为10 km/h时，总费用最少．

三、探究与创新

13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r.

解　(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，

又V＝，

故l＝＝－＝.由于l≥2r，因此0<r≤2.

所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，

因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.

(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0<r≤2.

由于c>3，所以c－2>0.

当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，

所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．

①当0<m<2，即c>时，令y′＝0，得r＝m.

当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，

所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2，即3<c≤时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．

综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；当c>时，建造费用最小时r＝.