1.7.2　定积分在物理中的应用

[学习目标]

1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．

2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．

[知识链接]

　下列判断正确的是________．

(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；

(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子v(t)dt；

(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子v(t)dt.

答案　(1)(3)

解析　(1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解；当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为

－v(t)dt.所以(2)错(3)正确．

[预习导引]

1．在变速直线运动中求路程、位移

路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b

所经过的路程s和位移s′分别为：

(1)若v(t)≥0，则s＝v(t)dt，s′＝v(t)dt.

(2)若v(t)≤0，则s＝－v(t)dt，s′＝v(t)dt.

(3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，

则s＝v(t)dt－v(t)dt；s′＝v(t)dt.

2．定积分在物理中的应用

(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.

(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F(x)dx.

要点一　求变速直线运动的路程、位移

例1　有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求

(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；

(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．

解　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．

故t＝6时，点P离开原点的路程

s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt

＝－＝.

当t＝6时，点P的位移为

(8t－2t2)dt＝＝0.

(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，

即4t2－t3＝0，

解得t＝0或t＝6，

t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，

t＝6是所求的值．

规律方法　(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．

跟踪演练1　变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．

解　当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)<0.

所以前2秒钟内所走的路程

s＝v(t)dt＋[－v(t)]dt

＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt

＝＋＝2.

2秒末所在的位置

x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt

＝1＋

＝1＋2－＝.

它在前2秒内所走的路程为2，

2秒末所在的位置为x1＝.

要点二　求变力所作的功

例2　在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．

解　由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k.

∵V＝xS(x指活塞与底的距离)，∴p＝＝.

∴作用在活塞上的力F＝p·S＝·S＝.

∴所做的功W＝dx＝k·ln x＝kln.

规律方法　解决变力作功注意以下两个方面：

(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．

(2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．

跟踪演练2　设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功．

解　设以x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx.

依题意，使弹簧伸长5 cm，需力100 N，即100＝5k，所以k＝20，于是F(x)＝20x.

所以弹簧伸长到40 cm所做的功即计算由x＝0到x＝15所做的功：W＝∫20xdx＝10x2＝2 250(N·cm)．

1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　)

A.g  B．g

C．g D．2g

答案　C

解析　h＝gtdt＝gt2＝g.

2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车                                                        (　　)

A．405  B．540

C．810  D．945

答案　A

解析　停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，

∴s＝∫v(t)dt＝∫(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)＝405.

3．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A．1＋25ln 5  B．8＋25ln

C．4＋25ln 5  D．4＋50ln 2

答案　C

解析　由v(t)＝7－3t＋＝0，解得t＝4(t＝－舍去)，所以所求的路程为dt＝＝4＋25ln 5，选C.

4．一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功．

解　设F(x)＝kx，因为弹簧压缩x cm可产生4x N的力，∴k＝4.

∴弹簧克服弹力所做的功为

W＝4xdx＝4×＝50(N·cm)＝0.5(J)．

1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．

2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.

一、基础达标

1．一物体沿直线以v＝2t＋1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s间行进的路程为(　　)

A．1 m  B．2 m

C．3 m  D．4 m

答案　D

解析　s＝＝4(m)．

2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为(　　)

A．120 m   B．437.5 m

C．360 m  D．480 m

答案　B

解析　从A处到B处所用时间为25 s．所以|AB|＝＝437.5 (m)．

3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)

A. m  B． m

C． m  D． m

答案　A

解析　v＝0时物体达到最高，

此时40－10t2＝0，则t＝2 s.

又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s.

∴h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．

4．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为(　　)

A．0.5 J  B．1 J

C．50 J  D．100 J

答案　A

解析　由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝∫F(x)dx＝∫xdx＝＝50 (N·cm)＝0.5 (J)．

5．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．

答案　21.95 m

解析　t＝0时，v0＝32 km/h＝m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8t.停止时，v(t)＝0，则－1.8t＝0，得t＝ s，所以汽车所走的距离s＝∫0v(t)dt＝0≈21.95(m)．

6．有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________．

答案　144 cm3

解析　由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4(6t－t2)dt＝4＝144 (cm3)．故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144 cm3.

7．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在 s～6 s间的运动路程．

解　由题意，得

v(t)＝由变速直线运动的路程公式，可得：

s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt

＝t2＋＝(m)．

所以该物体在s～6 s间的运动路程是 m.

二、能力提升

8．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为(　　)

A．44 J  B．46 J

C．48 J  D．50 J

答案　B

解析　W＝F(x)dx＝10dx＋(3x＋4)dx＝

10x＝46(J)．

9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是(　　)

A．1＋e  B．e

C．  D．e－1

答案　B

解析　W＝F(x)dx＝＝(1＋e)－1＝e.

10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为________．

答案　kl2(J)

解析　在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝＝kl2(J)．

11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．

解　物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k>0)．当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝.

所以阻力所做的功为

W阻＝F阻dx＝∫0kv2·vdt

＝∫09kb2t4·3bt2dt＝∫027kb3t6dt

＝0＝kb·a.

12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？

解　依题意知物体A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为

sA＝vAdt＝(3t2＋1)dt＝a3＋a；

B从开始到a秒末所走的路程为

sB＝vBdt＝10tdt＝5a2.

由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.

此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．

故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米．

三、探究与创新

13．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：

(1)A，C间的距离；

(2)B，D间的距离．

解　(1)设A到C的时间为t1 s，则1.2 t1＝24，解得t1＝20，则AC＝∫1.2tdt＝0.6t2，

即A，C间的距离为240 m.

(2)设D到B的时间为t2 s，则24－1.2t2＝0，

解得t2＝20，则

BD＝∫(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．

即B、D间的距离为240 m．