2.1.2　演绎推理

[学习目标]

1．理解演绎推理的意义．

2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．

[知识链接]

1．演绎推理的结论一定正确吗？

答　演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．

2．如何分清大前提、小前提和结论？

答　在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．

3．演绎推理一般是怎样的模式？

答　“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

[预习导引]

1．演绎推理

2.三段论

要点一　用三段论的形式表示演绎推理

例1　把下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；

(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．

解　(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提

在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提

水会沸腾．结论

(2)一切奇数都不能被2整除，大前提

2100＋1是奇数，小前提

2100＋1不能被2整除．结论

(3)三角函数都是周期函数，大前提

y＝tan α是三角函数，小前提

y＝tan α是周期函数．结论

规律方法　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪演练1　试将下列演绎推理写成三段论的形式：

(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；

(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；

(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；

(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．

解　(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；

小前提：海王星是太阳系里的大行星；

结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．

(2)大前提：所有导体通电时发热；

小前提：铁是导体；

结论：铁通电时发热．

(3)大前提：一次函数都是单调函数；

小前提：函数y＝2x－1是一次函数；

结论：y＝2x－1是单调函数．

(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；

小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；

结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．

要点二　演绎推理的应用

例2　正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.

(1)求证：A1B⊥AD；

(2)求证：CE∥平面AB1D.

证明　

(1)连接BD.

∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，

∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.

∵D是C1C的中点，

∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G为A1B的中点，∴A1B⊥DG，

又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.

又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.

(2)连接GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC.

∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，

∵GE＝DC＝a，∴四边形GECD为平行四边形，∴CE∥GD.

又∵CE⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，

∴CE∥平面AB1D.

规律方法　(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．

(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．

跟踪演练2　求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．

证明　y＝＝1－，

所以f(x)的定义域为R.

f(－x)＋f(x)＝＋

＝2－＝2－

＝2－＝2－2＝0.

即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

任取x1，x2∈R，且x1<x2.

则f(x1)－f(x2)＝－

＝2＝2·.

由于x1<x2，从而2x1<2x2，2x1－2x2<0，

所以f(x1)<f(x2)，故f(x)为增函数．

要点三　合情推理、演绎推理的综合应用

例3　如图所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．

(1)求证：O为△BCD的垂心；

(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．

(1)证明　∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，

∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC.

∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，

∵AD∩AO＝A，

∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，

∴O为△BCD的垂心．

(2)解　猜想：S＋S＋S

＝S.

证明：连接DO并延长交BC于E，连结AE，

由(1)知AD⊥平面ABC，

AE⊂平面ABC，

∴AD⊥AE，又AO⊥ED，

∴AE2＝EO·ED，

∴2＝·，

即S＝S△BOC·S△BCD.

同理可证：S＝S△COD·S△BCD，

S＝S△BOD·S△BCD.

∴S＋S＋S＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△BCD＝S.

规律方法　合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．

跟踪演练3　已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N*)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

解　类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列．

证明如下：

设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，

所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．

1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

答案　A

解析　A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．

2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝log x是对数函数(小前提)，所以y＝log x是增函数(结论)．”下列说法正确的是(　　)

A．大前提错误导致结论错误

B．小前提错误导致结论错误

C．推理形式错误导致结论错误

D．大前提和小前提都错误导致结论错误

答案　A

解析　y＝logax是增函数错误．故大前提错．

3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.

答案　二次函数的图象是一条抛物线　函数y＝x2＋x＋1是二次函数　函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线

4． “如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．

证明：在△ABC中 ，

因为CD⊥AB，AC>BC， ①

所以AD>BD， ②

于是∠ACD>∠BCD. ③

则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)

答案　 ③

解析　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．

1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．

2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.

一、基础达标

1．下列表述正确的是(　　)

①归纳推理是由部分到整体的推理；

②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；

④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③  B．②③④

C．②④⑤  D．①③⑤

答案　D

解析　根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．

2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)

A．类比推理  B．归纳推理

C．演绎推理  D．一次三段论

答案　C

解析　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．

3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)

A．结论正确  B．大前提不正确

C．小前提不正确  D．全不正确

答案　C

解析　由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．

4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是(　　)

A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

答案　B

解析　利用三段论分析：

大前提：矩形都是对角线相等的四边形；

小前提：四边形ABCD是矩形；

结论：四边形ABCD的对角线相等．

5．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．

答案　③

解析　在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．

6．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________．

答案　y＝的定义域是[4，＋∞)

解析　由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.

7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.

证明　因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．

设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．

二、能力提升

8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是(　　)

A．小前提错  B．结论错

C．正确的  D．大前提错

答案　C

解析　由三段论推理概念知推理正确．

9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.

其中正确的命题个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　B

解析　①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.

10．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.

答案　

解析　令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)

即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ①

令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ②

由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，

即f(x－1)＝－f(x＋2)，

∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，

∴f(x)＝f(x＋6)，

即f(x)周期为6，

∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)

对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得

4f(1)f(0)＝2f(1)，

∴f(0)＝，即f(2 010)＝.

11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．

证明　大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．

小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．

结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．

12．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.

证明　

如图，作AE⊥SB于E.

∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE⊂平面SAB.

∴AE⊥平面SBC，

又BC⊂平面SBC.

∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，

∴SA⊥BC.

∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，

∴BC⊥平面SAB.

∵AB⊂平面SAB.∴AB⊥BC.

三、探究与创新

13．设f(x)＝，g(x)＝(其中a＞0且a≠1)．

(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；

(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

解　(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝＋＝，

又g(5)＝因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．

(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(2＋3)＝

f(3)g(2)＋g(3)f(2)，

于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．

证明　因f(x)＝，g(x)＝(大前提)，

所以g(x＋y)＝，g(y)＝，f(y)＝(小前提及结论)，

所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝·＋＝＝g(x＋y).