章末检测

一、选择题

1．(2013·广东改编)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为(　　)

A．x＋4y＋3＝0  B．x＋4y－9＝0

C．4x－y＋3＝0  D．4x－y－2＝0

答案　D

解析　y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故选D.

2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为(　　)

A．(－∞，－1)及(0,1)  B．(－1,0)及(1，＋∞)

C．(－1,1)  D．(－∞，－1)及(1，＋∞)

答案　A

解析　y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.

3．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为(　　)

A. J  B． J

C． J  D．2 J

答案　C

解析　

由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°，W＝(5－x2)·cos 30°dx＝(5－x2)dx＝＝×＝ (J)．

4． (2012·重庆改编)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)

A．在(－∞，0)上为减函数

B．在x＝0处取极小值

C．在(4，＋∞)上为减函数

D．在x＝2处取极大值

答案　C

解析　使f′(x)＞0的x的取值范围为增区间；使f′(x)＜0的x的取值范围为减区间．

5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)  B．[－，]

C．(，＋∞)  D．(－，)

答案　B

解析　f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.

6．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　)

A．e2  B．ln 2

C．  D．e

答案　D

解析　f′(x)＝x(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x，

∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2，

∴ln x0＝1，∴x0＝e.

7．设函数f(x)＝x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)(　　)

A．在区间，(1，e)内均有零点

B．在区间，(1，e)内均无零点

C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点

D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点

答案　C

解析　由题意得f′(x)＝，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0.

8．曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为(　　)

A．∫0(sin x－cos x)dx  B．2∫0(sin x－cos x)dx

C．∫0(cos x－sin x)dx  D．2∫0(cos x－sin x)dx

答案　D

解析　

如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x<阴影部分面积的2倍．故选D.

9．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)

A．[－2,2]  B．[，]

C．[，2]  D．[，2]

答案　D

解析　∵f′(x)＝x2sin θ＋x·cos θ，

∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2＝

2sin.

∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤，

∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2.

10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数有(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

答案　B

解析　令f(x)＝2x3－6x2＋7，

∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，

由f′(x)＞0得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0得0＜x＜2；又f(0)＝7＞0，f(2)＝－1＜0，

f(x)在(0,2)内单调递减，

∴方程在(0,2)内只有一实根．

二、填空题

11．(2013·广东)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.

答案　－1

解析　求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1.

12．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案　a≥3

解析　由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.

13.

已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：

①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；

②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；

③函数f(x)在x＝－处取得极大值；

④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．

答案　①④

解析　从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；

当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；

当0＜x＜1时，f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．

14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013的值为________．

答案　－1

解析　∵y′|x＝1＝n＋1，

∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，

令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.

所以log2 014x1＋log2 014x2＋…＋log2 014x2 013

＝log2 014(x1·x2·…·x2 013)

＝log2 014＝log2 014＝－1.

三、解答题

15．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．

解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.

∵f(x)在x＝3处取得极值，

∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，

解得a＝3.

∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.

(2)A点在f(x)上，

由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，

f′(1)＝6－24＋18＝0，

∴切线方程为y＝16.

16．设<a<1，函数f(x)＝x3－ax2＋b (－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.

解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0，

得x1＝0，x2＝a.

f(0)＝b ，f(a)＝－＋b,

f(－1)＝－1－a＋b，

f(1)＝1－a＋b.

因为<a<1，所以1－a<0，

故最大值为f(0)＝b＝1，

所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，

所以－a＝－，所以a＝.

故a＝，b＝1.

17．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？

解　若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，

即12x2－a≥0在上恒成立，

∴a≤12x2在上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.

当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．

∴a＝0符合题意．

若f(x)在上为单调减函数，

则f′(x)≤0在上恒成立，

即12x2－a≤0在上恒成立，

∴a≥12x2在上恒成立，

∴a≥(12x2)max＝3.

当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0)．因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.

18．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．

(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．

(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．

解　(1)设长为x m，

则宽为 m.

据题意

解得≤x≤16.

y＝×400＋×248＋16 000

＝800x＋＋16 000，

(2)y′＝800－＝0，

解得x＝18.

当x∈(0,18)时，函数y为减函数；

当x∈(18，＋∞)时，函数y为增函数．

又∵≤x≤16，

∴当x＝16时，ymin＝45 000.

当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元．