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    2021学年第一章 导数及其应用综合与测试一课一练

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    这是一份2021学年第一章 导数及其应用综合与测试一课一练,共9页。试卷主要包含了曲线的切线方程,判断函数的单调性,利用导数研究函数的极值要注意,求函数的最大值与最小值等内容,欢迎下载使用。

    章末复习

    1对于导数的定义必须明确定义中包含的基本内容和Δx0的方式导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限 .

    函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0f(x0))处的切线的斜率

    2曲线的切线方程

    利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意

    (1)判断P点是否在曲线上

    (2)如果曲线yf(x)P(x0f(x0))处的切线平行于y(此时导数不存在)可得方程为xx0P点坐标适合切线方程P点处的切线斜率为f(x0)

    3利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数熟记基本求导公式熟练运用法则是关键有时先化简再求导会给解题带来方便因此观察式子的特点对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键

    4判断函数的单调性

    (1)在利用导数讨论函数的单调区间时首先要确定函数的定义域解决问题的过程中只能在函数的定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间

    (2)注意在某一区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件

    5利用导数研究函数的极值要注意

    (1)极值是一个局部概念是仅对某一点的左右两侧领域而言的

    (2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个也可能没有极值点函数的极大值与极小值没有必然的大小联系函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小

    (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点但函数的导数为零的点不一定是该函数的极值点因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件其充要条件是加上这点两侧的导数异号

    6求函数的最大值与最小值

    (1)函数的最大值与最小值在闭区间[ab]上连续的函数f(x)[ab]上必有最大值与最小值但在开区间(ab)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值例如f(x)x3x(1,1)

    (2)求函数最值的步骤

    一般地求函数yf(x)[ab]上最大值与最小值的步骤如下

    求函数yf(x)(ab)内的极值

    将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)f(b)比较其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值

    7应用导数解决实际问题关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)如果函数在区间内只有一个点x0使f(x0)0f(x0)是函数的最值.

    题型一 应用导数解决与切线相关的问题

    根据导数的几何意义导数就是相应切线的斜率从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题

    1 (2013·福建)已知函数f(x)xaln x(aR)

    (1)a2求曲线yf(x)在点A(1f(1))处的切线方程

    (2)求函数f(x)的极值

    解 函数f(x)的定义域为(0,+)f(x)1.

    (1)a2时,f(x)x2ln xf(x)1(x0)

    f(1)1f(1)=-1

    yf(x)在点A(1f(1))处的切线方程为y1=-(x1),即xy20.

    (2)f(x)1x0.

    a0时,f(x)0,函数f(x)(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;

    a0时,由f(x)0,解得xa

    x(0a)时,f(x)0x(a,+)时,f(x)0

    f(x)xa处取得极小值,且极小值为f(a)aaln a,无极大值

    综上当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)xa处取得极小值aaln a,无极大值

    跟踪演练1 已知曲线C的方程是yx33x22x.

    (1)求曲线在x1处的切线方程

    (2)l2ykx且直线l2与曲线C相切于点(x0y0)(x00)求直线l2的方程及切点坐标

    解 (1)y3x26x2

    y|x13×16×12=-1.

    l1的斜率为-1,且过点(1,0)

    直线l1的方程为y=-(x1)

    l1的方程为xy10.

    (2)直线l2过原点,则k(x00)

    由点(x0y0)在曲线C上,得y0x3x2x0

    x3x02.

    y3x26x2k3x6x02.

    k3x6x02x3x02

    整理得2x3x00.x00x0

    此时y0=-k=-

    因此直线l2的方程为y=-x,切点坐标为.

    题型二 利用导数求函数的单调区间

    在区间(ab)如果f(x)>0那么函数yf(x)在区间(ab)内单调递增在区间(ab)如果f(x)<0那么函数yf(x)在区间(ab)内单调递减

    2 已知函数f(x)xa(2ln x)a0.讨论f(x)的单调性

    解 由题知,f(x)的定义域是(0,+)

    f(x)1.

    g(x)x2ax2,二次方程g(x)0的判别式Δa28.

    Δ00a2时,对一切x0都有f(x)0.此时f(x)(0,+)上的单调递增函数

    Δ0a2时,仅对x,有f(x)0,对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0,+)上的单调递增函数

    Δ0a2时,方程g(x)0有两个不同的实根x1x20x1x2.

    x变化时,f(x)f(x)的变化情况如下表:

    x

    (0x1)

    x1

    (x1x2)

    x2

    (x2,+)

    f(x)

    0

    0

    f(x)

    极大值

    极小值

    此时f(x)上单调递增,

    上单调递减,

    上单调递增

    跟踪演练2 求下列函数的单调区间

    (1)f(x)(x3)exx(0,+)

    (2)f(x)x(xa)2.

    解  (1)f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex,令f(x)0,解得x2,又x(0,+)

    所以函数的单调增区间(2,+),函数的单调减区间(0,2)

    (2)函数f(x)x(xa)2x32ax2a2x的定义域为R

    f(x)3x24axa20,得x1x2a.

    a>0时,x1<x2.函数f(x)的单调递增区间为(a,+),单调递减区间为.

    a<0时,x1>x2

    函数f(x)的单调递增区间为(a)

    单调递减区间为.

    a0时,f(x)3x20函数f(x)的单调区间为(,+),即f(x)R上是递增的

    综上,a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(a,+),单调递减区间为.

    a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(a),单调递减区间为.

    a0时,函数f(x)的单调递增区间为(,+)

    题型三 利用导数求函数的极值和最值

    1利用导数求函数极值的一般步骤

    (1)确定函数f(x)的定义域

    (2)解方程f(x)0的根

    (3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号

    若左正右负f(x)在此根处取得极大值

    若左负右正f(x)在此根处取得极小值

    否则此根不是f(x)的极值点

    2求函数f(x)在闭区间[ab]上的最大值、最小值的方法与步骤

    (1)f(x)(ab)内的极值

    (2)(1)求得的极值与f(a)f(b)相比较其中最大的一个值为最大值最小的一个值为最小值

    特别地f(x)[ab]上单调时其最小值最大值在区间端点取得f(x)(ab)内只有一个极值点时若在这一点处f(x)有极大(或极小)则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小) 这里(ab)也可以是(,+)

    3 已知函数f(x)x2aln x(aR),

    (1)f(x)x2时取得极值a的值

    (2)f(x)的单调区间

    (3)求证x1x2ln xx3.

    (1)解 f(x)x,因为x2是一个极值点,所以20,则a4.此时f(x)x,因为f(x)的定义域是(0,+),所以当x(0,2)时,f(x)0;当x(2,+)f(x)0,所以当a4时,x2是一个极小值点,故a4.

    (2)解 因为f(x)x,所以当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,+)

    a0时,f(x)x,所以函数f(x)的单调递增区间(,+);递减区间为(0)

    (3)证明 g(x)x3x2ln x,则g(x)2x2x,因为当x1时,g(x)0,所以g(x)x(1,+)上是增函数,所以g(x)g(1)0,所以当x1时,x2ln xx3.

    跟踪演练3 已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3xy0平行

    (1)求函数f(x)的解析式

    (2)求函数f(x)在区间[0t](0<t<3)上的最大值和最小值

    (3)(1)的结论下关于x的方程f(x)c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根求实数c的取值范围

    解 (1)因为f(x)3x22ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为:f(1)32a,即32a=-3a=-3.又函数过(1,0)点,即-2b0b2.所以a=-3b2f(x)x33x22.

    (2)f(x)x33x22得,f(x)3x26x.

    f(x)0得,x0x2.

    0<t2时,在区间(0t)f(x)<0f(x)[0t]上是减函数,所以f(x)maxf(0)2

    f(x)minf(t)t33t22.

    2<t<3时,当x变化时,f(x)f(x)的变化情况如下表:

    x

    0

    (0,2)

    2

    (2t)

    t

    f(x)

    0

    0

     

    f(x)

    2

    2

    t33t22

    f(x)minf(2)=-2f(x)maxf(0)f(t)中较大的一个

    f(t)f(0)t33t2t2(t3)<0.

    所以f(x)maxf(0)2.

    (3)g(x)f(x)cx33x22c

    g(x)3x26x3x(x2)

    x[1,2)上,g(x)<0;在x(2,3]上,g(x)>0.要使g(x)0[1,3]上恰有两个相异的实根,则解得-2<c0.

    题型四 导数与函数不等式的综合应用

    利用导数研究函数是高考的必考内容也是高考的重点热点考题利用导数作为工具考查求函数的单调区间函数的极值与最值参数的取值范围等问题若以选择题填空题出现以中低档题为主若以解答题形式出现则难度以中档以上为主有时也以压轴题的形式出现考查中常渗透函数不等式等有关知识综合性较强

    4 设函数f(x)=-x32ax23a2xb(0<a<1)

    (1)求函数f(x)的单调区间和极值

    (2)若当x[a1a2]恒有|f(x)|a试确定a的取值范围

    (3)a关于x的方程f(x)0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根求实数b的取值范围

    解 (1)f(x)=-x24ax3a2=-(xa)(x3a)

    f(x)0,得xax3a.

    x变化时,f(x)f(x)的变化情况如下表:

    x

    (a)

    a

    (a,3a)

    3a 

    (3a,+)

    f(x)

    0

    0

    f(x)

    极小

    极大

    f(x)(a)(3a,+)上是减函数,在(a,3a)上是增函数xa时,f(x)取得极小值,f(x)极小值f(a)ba3;当x3a时,f(x)取得极大值,f(x)极大值f(3a)b.

    (2)f(x)=-x24ax3a2,其对称轴为x2a.

    因为0<a<1,所以2a<a1.

    所以f(x)在区间[a1a2]上是减函数

    xa1时,f(x)取得最大值,f(a1)2a1

    xa2时,f(x)取得最小值,f(a2)4a4.

    于是有a1.

    又因为0<a<1,所以a<1.

    (3)a时,f(x)=-x3x2xb.

    f(x)=-x2x

    f(x)0,即-x2x0

    解得x1x22,即f(x)上是减函数,

    上是增函数,在(2,+)上是减函数

    要使f(x)0[1,3]上恒有两个相异实根,

    f(x)(1,2)(2,3)上各有一个实根,

    于是有解得0<b.

    跟踪演练4 证明x[2,1],-x34x.

    证明 f(x)x34xx[2,1]

    f(x)x24.因为x[2,1],所以f(x)0

    即函数f(x)在区间[2,1]上单调递减

    故函数f(x)在区间[2,1]上的最大值为f(2)

    最小值为f(1)=-.

    所以,当x[2,1]时,-f(x)

    即-x34x成立

    题型五 定积分及其应用

    定积分的几何意义表示曲边梯形的面积它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限

    5 求曲线ysin x与直线x=-xπy0所围成图形的面积

    解 

    所求面积Sπdx

    =-sin xdxsin xdx

     ππsin xdx124.

    跟踪演练5 求由曲线yexyexx1所围成的图形面积

     

    解 

    如图,由解得交点为(0,1)所求面积为S(exex)dx

    (exex)e2.

    1求函数中参数的取值范围问题,可以有两种类型:一是已知函数单调性(或极值),求参数范围;二是已知函数最值(或恒成立)等性质,求参数范围这两种类型从实质上讲,可以统一为:已知函数值的变化规律,探求其参数变化范围

    2在解决问题的过程中主要处理好下面的问题:(1)注意定义域;(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是:f(x)0(f(x)0),且f(x)不恒为零;(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况,一般我们可以研究临界值取舍即可

     

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