2.3　数学归纳法(一)

[学习目标]

1．了解数学归纳法的原理．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

[知识链接]

1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？

答　a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．

2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？

答　(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．

3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？

答　(1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．

[预习导引]

1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

2．应用数学归纳法时注意几点：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．

(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．

要点一　正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化

例1　已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．

答案　2k

解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，

f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.

因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．

规律方法　在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．

跟踪演练1　设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．

答案　＋＋

解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋，

∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，

∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.

要点二　证明与自然数n有关的等式

例2　已知n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.

证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，

等式成立；

(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即：

1－＋－＋…＋－

＝＋＋…＋.

则当n＝k＋1时，

左边＝1－＋－＋…＋－＋

－

＝＋＋…＋＋－

＝＋＋…＋＋＋

＝＋＋…＋＋

＝右边；

所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)知对一切n∈N*等式都成立．

规律方法　(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；

(2)用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．

跟踪演练2　用数学归纳法证明：

当n≥2，n∈N*时，·…·＝.

证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，

即…＝，

那么当n＝k＋1时，

…＝·＝＝

＝.

∴当n＝k＋1时，等式也成立．

根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．

要点三　证明与数列有关的问题

例3　某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.

(1)写出这个数列的前五项；

(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．

解　(1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22，

∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.

同理可得a4＝，a5＝.

因此这个数列的前五项为1,4，，，.

(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：

an＝

下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.

①当n＝2时，a2＝＝22，

所以等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，

即ak＝，

则当n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，

∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2.

∴ak＋1＝

＝·＝，

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是

an＝，∴an＝

规律方法　(1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明．

(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．

跟踪演练3　数列{an}满足：a1＝，前n项和Sn＝an，

(1)写出a2，a3，a4；

(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．

解　(1)令n＝2，得S2＝a2，

即a1＋a2＝3a2，解得a2＝.

令n＝3，得S3＝a3，

即a1＋a2＋a3＝6a3，解得a3＝.

令n＝4，得S4＝a4，

即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，解得a4＝.

(2)由(1)的结果猜想an＝，下面用数学归纳法给予证明：

①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，

则当n＝k＋1时，Sk＝ak， ①

Sk＋1＝ak＋1， ②

②与①相减得ak＋1＝ak＋1－ak，

整理得ak＋1＝ak＝·＝＝，

即当n＝k＋1时结论也成立．

由①、②知对于n∈N*，上述结论都成立．

1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有(　　)

A．命题对所有正整数都成立

B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立

C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立

D．以上说法都不正确

答案　C

解析　由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.

2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　)

A．1＋a  B．1＋a＋a2

C．1＋a＋a2＋a3  D．1＋a＋a2＋a3＋a4

答案　C

解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.

3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．

答案　未用归纳假设

解析　本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．

4．当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋，

(1)求S1，S2，T1，T2；

(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．

解　(1)∵当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋.

∴S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝，

T1＝＝，T2＝＋＝.

(2)猜想Sn＝Tn(n∈N*)，即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋(n∈N*)．

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，已证S1＝T1，

②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，

即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，

则Sk＋1＝Sk＋－＝Tk＋－

＝＋＋＋…＋＋－

＝＋＋…＋＋＋

＝＋＋…＋＋

＝Tk＋1.

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．

　在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：

(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；

(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；

(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.

一、基础达标

1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出(　　)

A．当n＝6时命题不成立  B．当n＝6时命题成立

C．当n＝4时命题不成立  D．当n＝4时命题成立

答案　B

2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)

A．该命题对于n>2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取值无关

D．以上答案都不对

答案　B

解析　由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．

3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)

A．1  B．2

C．3  D．0

答案　C

解析　因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.

4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是(　　)

A．1  B．

C．1＋＋  D．以上答案均不正确

答案　C

5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．

答案　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k

解析　由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项．

6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝________.

答案　f(k)＋＋＋－

7．用数学归纳法证明…＝(n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即

…＝，

当n＝k＋1时，

…·＝＝＝＝，

所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，对于任意n∈N*等式都成立．

二、能力提升

8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为(　　)

A．2k＋1  B．2(2k＋1)

C．  D．

答案　B

解析　n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．

9．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

答案　D

解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，

∴项数为n2－n＋1.

10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为________．

证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．

答案　缺少步骤(1)，没有递推的基础

11．用数学归纳法证明：

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.

证明　(1)当n＝1时，左边＝1，

右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．

(2)假设当n＝k时，结论成立．

即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，

那么当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k·(k＋1)

＝(－1)k·

＝(－1)k＋1－1·.

即n＝k＋1时结论也成立．

由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．

12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和．

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；

(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．

(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，

a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，

猜想an＝.

(2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．

②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，

即ak＝5×2k－2，

当n＝k＋1时，由已知条件和假设有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak

＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.

＝5＋＝5×2k－1＝5×2(k＋1)－2.

故n＝k＋1时公式也成立．

由①②可知，对n≥2，n∈N*，有an＝5×2n－2.

所以数列{an}的通项公式为

an＝.

三、探究与创新

13．已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．

(1)计算a1，a2，a3，a4；

(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

解　(1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.

(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，猜想显然成立．

②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝.

那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，

即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.

又Sk＝1－kak＝，

所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，

从而ak＋1＝＝.

即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立