高中数学人教版新课标A选修2-23.2复数代数形式的四则运算习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-23.2复数代数形式的四则运算习题，共8页。


[学习目标]
1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．
2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
[知识链接]
在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．
[预习导引]
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．
复数加减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq \(OZ,\s\up6(→))1，eq \(OZ,\s\up6(→))2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应．
要点一 复数加减法的运算
例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．
解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．
跟踪演练1 计算：
(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)
＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.
要点二 复数加减法的几何意义
例2 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．
∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1,y－2＝－3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝－1))，
故点D对应的复数为2－i.
规律方法 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．
跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.
求：(1)eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数；
(2)对角线eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数；
(3)对角线eq \(OB,\s\up6(→))表示的复数．
解 (1)因为eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数为－3－2i.
(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，所以对角线eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以对角线eq \(OB,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
要点三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解 法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1②
由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝eq \r(a＋c2＋b＋d2)
＝eq \r(a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd)＝eq \r(3).
法二 设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝
eq \r(\a\vs4\al(,|\(OA,\s\up6(→))|2＋|\(AC,\s\up6(→))|2－2|\(OA,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|cs 120°))＝eq \r(3).
规律方法 (1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪演练3 本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2).求|z1－z2|.
解 由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝eq \r(2).
1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案 D
解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
2．复数i＋i2在复平面内表示的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．
3．在复平面内，O是原点，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则eq \(BC,\s\up6(→))表示的复数为( )
A．2＋8i B．－6－6i
C．4－4i D．－4＋2i
答案 C
解析 eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))＝(4，－4)．
∴eq \(BC,\s\up6(→))表示的复数为4－4i.
4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在( )
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
答案 B
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
答案 －1
解析 z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、基础达标
1．复数z1＝2－eq \f(1,2)i，z2＝eq \f(1,2)－2i，则z1＋z2等于( )
A．0 B.eq \f(3,2)＋eq \f(5,2)i
C．eq \f(5,2)－eq \f(5,2)i D．eq \f(5,2)－eq \f(3,2)i
答案 C
解析 z1＋z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2))i＝eq \f(5,2)－eq \f(5,2)i.
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
答案 B
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于( )
A．2 B．2＋2i
C．4＋2i D．4－2i
答案 C
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋a＝0,b＋1＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2,b＝－1))，∴a＋bi＝－2－i.
5．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量eq \(PQ,\s\up6(→))对应的复数是________．
答案 3＋i
解析 ∵P(－1,0)，Q(2,1)，
∴eq \(PQ,\s\up6(→))＝(3,1)，∴eq \(PQ,\s\up6(→))对应的复数为3＋i.
6．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
答案 1
解析 由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.
7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－\f(3,2)i)).
(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解 (1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－\f(3,2)i))
＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)i＋2－i－eq \f(4,3)＋eq \f(3,2)i
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i.
(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
二、能力提升
8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( )
A．－3i B．3i
C．±3i D．4i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.
9．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则|eq \(BD,\s\up6(→))|等于( )
A．5 B．eq \r(13)
C．eq \r(15) D．eq \r(17)
答案 B
解析 如图，
设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝4，,y＋0＝3))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3.))
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，
所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(13).
10．如果一个复数与它的模的和为5＋eq \r(3)i，那么这个复数是________．
答案 eq \f(11,5)＋eq \r(3)i
解析 设这个复数为x＋yi(x，y∈R)
∴x＋yi＋eq \r(x2＋y2)＝5＋eq \r(3)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(x2＋y2)＝5,y＝\r(3)))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(11,5),y＝\r(3)，))∴x＋yi＝eq \f(11,5)＋eq \r(3)i.
11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是1＋2i，向量eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解 ∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
解 法一 设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．
∴AC中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))，BD中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y－1,2))).
∵平行四边形对角线互相平分，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＝\f(x,2),2＝\f(y－1,2)))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝5)).即点D对应的复数为3＋5i.
法二 设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
则eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)
＝(x－1)＋(y－3)i，又eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
由于eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→)).∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝2,y－3＝2))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝5)).即点D对应的复数为3＋5i.
三、探究与创新
13．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，
(2)∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(10)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(8)＝2eq \r(2)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(2)＝2.