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一、选择题

1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)

A．i∈S  B．i2∈S

C．i3∈S  D．∈S

答案　B

2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　因为z1＝z2，所以，解得m＝1或m＝－2，

所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．

3．(2013·天津改编)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则＝(　　)

A．－1  B．1

C．－i  D．i

答案　D

解析　由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，∴m＝1且n＝1.则＝＝＝i.

4．已知a是实数，是纯虚数，则a等于(　　)

A．1  B．－1

C．  D．－

答案　A

解析　＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.

5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于(　　)

A．－2＋i  B．2＋i

C．1－2i  D．1＋2i

答案　B

解析　∵(x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i，

∴y＝1，x＝2，∴x＋yi＝2＋i.

6．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为(　　)

A．p＝－4，q＝5  B．p＝4，q＝5

C．p＝4，q＝－5  D．p＝－4，q＝－5

答案　A

解析　由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.

7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)

A．－4  B．－

C．4  D．

答案　D

解析　因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝＝＋i，故z的虚部等于，故选D.

8．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是(　　)

A．－15  B．3

C．－3  D．15

答案　C

解析　＝＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.

9．(2013·广东)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)

A．(2,4)  B．(2，－4)

C．(4，－2)  D．(4,2)

答案　C

解析　z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.

10．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．无数个

答案　B

解析　f(n)有三个值0,2i，－2i.

二、填空题

11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．

答案　(3,4)

解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴，解得3<m<4.

12．(2013·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.

答案　1＋2i

解析　由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，即a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.

13．下列说法中正确的序号是________．

①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈∁CR，则必有；

②2＋i>1＋i；

③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；

④若一个数是实数，则其虚部不存在；

⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．

答案　⑤

解析　由y∈∁CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．

14．下列是关于复数的类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由实数绝对值的性质|x|2＝x2类比得到复数z的性质|z|2＝z2；

③已知a，b，∈R，若a－b＞0，则a＞b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2＞0，则z1＞z2；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．

其中推理结论正确的是________．

答案　①④

三、解答题

15．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，

(1)z是实数？(2)z是纯虚数？

解　(1)要使复数z为实数，需满足，解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．

(2)要使复数z为纯虚数，需满足，

解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．

16．设f(n)＝n＋n(n∈N)，求集合{x|x＝f(n)}中元素的个数．

解　∵＝i，＝－i，∴f(n)＝in＋(－i)n.设k∈N.

当n＝4k时，f(n)＝2，

当n＝4k＋1时，f(n)＝i4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0，

当n＝4k＋2时，f(n)＝i4k·i2＋(－i)4k·(－i)2＝－2，

当n＝4k＋3时，f(n)＝i4k·i3＋(－i)4k·(－i)3＝0，

∴{x|x＝f(n)}中有三个元素．

17．(2013·山东德州期中)已知z＝1＋i，a，b为实数．

(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；

(2)若＝1－i，求a，b的值．

解　(1)因为ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，|ω|＝＝.

(2)由条件＝1－i，得＝

1－i.即＝1－i

∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，∴，解得.

18．设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.

(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；

(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．

(1)解　设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.

因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.

由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.

(2)证明　ω＝＝＝＝

－i.因为a∈[－，]，b≠0，所以ω为纯虚数．

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一、选择题

1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是(　　)

A．完全归纳推理  B．归纳推理

C．类比推理  D．演绎推理

答案　B

解析　由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.

2．(2013·浙江)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)(　　)

A．－3＋i  B．－1＋3i

C．－3＋3i  D．－1＋i

答案　B

解析　(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B.

3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于(　　)

A．10  B．10ln 10＋lg e

C．＋ln 10  D．11ln 10

答案　B

解析　∵f′(x)＝10xln 10＋，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.

4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在(　　)

A．大前提  B．小前提

C．推理形式  D．没有出错

答案　A

5．观察下列数表规律

则数2 007的箭头方向是(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　D

解析　因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n－1)·4⇒n＝502∈N*.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→an，故选D.

6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为(　　)

A.或  B．

C．  D．以上都不对

答案　B

解析　∵f′(x)＝3x2－2ax－b，∴，解得或.经检验a＝3，b＝－3不合题意，应舍去．

7．给出下列命题：

①dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a<b)；

②－1x2dx＝x2dx；

③曲线y＝sin x，x∈[0,2π]与直线y＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

答案　B

解析　dt＝b－a≠dx＝a－b，故①错．y＝x2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S＝2sin xdx＝4.故③错．故选B.

8．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　C

解析　面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，＝2类比＝3，故选C.

9．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)

A.e2  B．4e2

C．2e2  D．e2

答案　D

解析　∵y′＝ex，

∴y＝ex在(4，e2)处的切线斜率为e2.

∴过点(4，e2)的切线方程为y＝e2x－e2，

它与x轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0，－e2)，

∴S＝×2×e2＝e2.故选D.

10．(2013·湖北)已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则(　　)

A．f(x1)＞0，f(x2)＞－

B．f(x1)＜0，f(x2)＜－

C．f(x1)＞0，f(x2)＜－

D．f(x1)＜0，f(x2)＞－

答案　D

解析　函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则f′(x)＝ln x－2ax＋1有两个零点，即方程ln x＝2ax－1有两个根，由数形结合易知0＜a＜且0＜x1＜1＜x2.因为在(x1，x2)上f(x)递增，所以f(x1)＜f(1)＜f(x2)，即f(x1)＜－a＜f(x2)，所以f(x1)＜0，f(x2)＞－.故选D.

二、填空题

11．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数＝________.

答案　i

解析　设z＝a＋bi，则(a＋bi)(1＋i)＝1－i，

即a－b＋(a＋b)i＝1－i.

由解得所以z＝－i，＝i.

12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为________________．

答案　表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为

解析　正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为，通过类比可知，表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为.

13．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是________．

答案　[3,12]

解析　

因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)＝3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，

所以即

画出可行域如图所示．因为f(－1)＝2b－c，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]．

14．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．

答案　

解析　设第n(n≥2且n∈N*)行的第2个数字为，其中a1＝1，则由数阵可知an＋1－an＝n，

∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝19＋18＋…＋1＋1＝＋1＝191，∴＝.

三、解答题

15．(2013·青岛二中期中)(1)已知z∈C，且|z|－i＝＋2＋3i(i为虚数单位)，求复数的虚部．

(2)已知z1＝a＋2i，z2＝3－4i(i为虚数单位)，且为纯虚数，求实数a的值．

解　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入方程|z|－i＝＋2＋3i，

得出－i＝x－yi＋2＋3i＝(x＋2)＋(3－y)i，

故有，解得，

∴z＝3＋4i，复数＝＝2＋i，虚部为1.

(2)＝＝，且为纯虚数，

则3a－8＝0，且4a＋6≠0，解得a＝.

16．已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：

(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤.

证明　(1)∵a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c，

∴＋＋≥a＋b＋c＝.∴a2＋b2＋c2≥.

(2)∵≤，≤，≤，三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋＝1，∴＋＋≤.

17．是否存在常数a，b，使等式＋＋…＋＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．

解　若存在常数a，b使等式成立，

则将n＝1，n＝2代入上式，

有得a＝1，b＝4，

即有＋＋…＋

＝对于一切n∈N*都成立．

证明如下：

(1)当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，所以等式成立．

(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即

＋＋…＋＝，

当n＝k＋1时，

＋＋…＋＋

＝＋＝·

＝·＝·

＝＝，

也就是说，当n＝k＋1时，等式成立，

综上所述，等式对任何n∈N*都成立．

18．(2013·广东)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(其中k∈R)．

(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M.

解　(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)．

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表

由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．

(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln (2k)，

令g(k)＝ln(2k)－k，则g′(k)＝－1＝＞0，所以g(k)在上递增，

所以g(k)≤ln 2－1＝ln 2－ln e＜0，

从而ln (2k)＜k，所以ln(2k)∈[0，k]，

所以当x∈(0，ln(2k))时，f′(x)＜0；

当x∈(ln(2k)，＋∞)时，f′(x)＞0；

所以M＝max{f(0)，f(k)}＝max{－1，(k－1)ek－k3}

令h(k)＝(k－1)ek－k3＋1，则h′(k)＝k(ek－3k)，

令φ(k)＝ek－3k，则φ′(k)＝ek－3＜e－3＜0，

所以φ(k)在上递减，

而φ·φ(1)＝(e－3)＜0，

所以存在x0∈使得φ(x0)＝0，

且当k∈时，φ(k)＞0，当k∈(x0,1)时φ(k)＜0，

所以h(k)在上单调递增，

在(x0,1)上单调递减．

因为h＝－＋＞0，h(1)＝0，

所以h(k)≥0在上恒成立，

当且仅当k＝1时取得“＝”．

综上，函数f(x)在[0，k]上的最大值M＝(k－1)ek－k3.