3.2.2　复数代数形式的乘除运算

[学习目标]

1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．

3．理解共轭复数的概念．

[知识链接]

　写出下列各小题的计算结果：

(1)(a±b)2＝________；

(2)(3a＋2b)(3a－2b)________；

(3)(3a＋2b)(－a－3b)________．

(4)(x－y)÷(＋)________．

答案　(1)a2±2ab＋b2　(2)9a2－4b2　(3)－3a2－11ab－6b2　(4)－

[预习导引]

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

2．复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C，有

3.共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.

4．复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

则＝＝＝＋i.

要点一　复数乘除法的运算

例1　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.

解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；

(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.

规律方法　(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．

(2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.

跟踪演练1　计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；

(2)(3＋4i)(3－4i)；

(3)(1＋i)2.

解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝

－20＋15i；

(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；

(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.

例2　计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；

(2)6＋.

解　(1)(1＋2i)÷(3－4i)＝＝＝＝－＋i；

(2)原式＝6＋

＝i6＋＝－1＋i.

规律方法　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

跟踪演练2　计算：(1)；(2).

解　(1)＝＝＝1－i；

(2)＝＝＝－1－3i.

要点二　共轭复数及其应用

例3　已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．

解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则z·＝a2＋b2，

∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，

即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，

∴，解得，

∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.

规律方法　本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．

跟踪演练3　已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.

解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1. ①

因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，

所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0. ②

由①②联立，解得或

所以＝－i，或＝－＋i.

1．复数－i＋等于(　　)

A．－2i  B．i

C．0  D．2i

答案　A

解析　－i＋＝－i－＝－2i，选A.

2．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)

A．－2i  B．2i

C．－4i  D．4i

答案　C

解析　本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M∩N＝{4}，所以zi＝4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，zi＝－b＋ai，由zi＝4，利用复数相等，得a＝0，b＝－4.故选C.

3．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于(　　)

A．1＋3i  B．3＋3i

C．3－i  D．3

答案　A

解析　(1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i.

4．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　)

A.  B．

C．－  D．－

答案　A

解析　∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.

z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，

又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.

5．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　因为z＝＝＝，故复数z对应的点在第四象限，选D.

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.

一、基础达标

1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)

A．－i  B．i

C．－1  D．1

答案　A

解析　z＝＝－i.

2．i为虚数单位，＋＋＋等于(　　)

A．0  B．2i

C．－2i  D．4i

答案　A

解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.

3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)

A．a＝1，b＝1  B．a＝－1，b＝1

C．a＝－1，b＝－1  D．a＝1，b＝－1

答案　D

解析　∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴.

4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝－＋i，对应点在第二象限．

5．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．

答案　1

解析　由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.

6．复数的虚部是________．

答案　－

解析　原式＝＝＝－i，∴虚部为－.

7．计算：(1)＋2 010；

(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．

解　(1)＋2 010＝＋1 005

＝i(1＋i)＋1 005＝－1＋i＋(－i)1 005

＝－1＋i－i＝－1.

(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.

二、能力提升

8．(2013·新课标)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)

A．－1＋i  B．－1－i

C．1＋i  D．1－i

答案　A

解析　因为复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝＝＝－1＋i.

9．(2013·山东)若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)

A．2＋i  B．2－i

C．5＋i  D．5－i

答案　D

解析　由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝2＋i＋3＝5＋i.所以＝5－i，选D.

10．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．

答案　－2i

解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.

11．(2013·山东聊城期中)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值．

解　由z＝，

得z＝＝＝1－i，

又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，

∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.

12．已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.

解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.

又z·－3iz＝，

∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，

∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，

∴∴或.

∴z＝－1，或z＝－1－3i.

三、探究与创新

13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．

(1)求b，c的值；

(2)试说明1－i也是方程的根吗？

解　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，

∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，

即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得.

∴b、c的值为b＝－2，c＝2.

(2)方程为x2－2x＋2＝0.

把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．