人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用习题

习题课　导数的应用

明目标、知重点

会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．

1．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则(　　)

A．b≤0   B．b<2

C．b≥2   D．b>2

答案　A

2．已知y＝asin x＋sin 3x在x＝处有极值，则(　　) 

A．a＝－2   B．a＝2

C．a＝   D．a＝0

答案　B

3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间0,1]上的最小值为(　　)

A．－1  B．0  C．－  D.

答案　C

解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，

解得x1＝，x2＝－(舍去)．

当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：

所以当x＝时，

g(x)有最小值g＝－.

4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)

答案　D

解析　应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．

5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．

答案　充分不必要

解析　对于导数存在的函数f(x)，

若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，

如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，

但f′(x)≤0.

题型一　函数与其导函数之间的关系

例1　对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和的公式是________．

答案　2n＋1－2

解析　由k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切线方程为y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，

令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2n，所以＝2n，

则数列{}的前n项和Sn＝＝2n＋1－2.

反思与感悟　找切点，求斜率是求切线方程的关键．

跟踪训练1　如图，曲线y＝f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为，则y与y′的关系满足(　　)

A．y＝y′

B．y＝－y′

C．y＝y′2

D．y2＝y′

答案　D

解析　S△PTQ＝×y×|QT|＝，∴|QT|＝，Q(x－，0)，根据导数的几何意义，

kPQ＝＝y′∴y2＝y′.故选D.

题型二　利用导数研究函数的单调性、极值、最值

例2　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间及极值；

(3)当x∈1,5]时，求函数的最值．

解　∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，

于是2(a－1)x＋2b＝0恒成立，∴，解得a＝1，b＝0；

(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，

∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，

令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－4<x<4，令f′(x)>0，得x<－4或x>4.

∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，

∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128.

(3)由(2)知，函数在1,4]上单调递减，在4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.

小结　(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间．

(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．

(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．

跟踪训练2　已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.

(1)求a，b的值；

(2)求函数的极小值；

(3)求函数在－1,1]的最值．

解　y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，

y|x＝1＝a＋b＝3，

即，a＝－6，b＝9.

(2)y＝－6x3＋9x2，y＝－18x2＋18x，令y＝0，得x＝0，或x＝1，

∴y极小值＝y|x＝0＝0.

(3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x3＋9x2，又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0.

题型三　导数的综合应用

例3　已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

解　(1)f′(x)＝3x2－a，

因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．

即3x2－a≥0在R上恒成立．

即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.

当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．

所以a的取值范围是(－∞，0]．

(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，

则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．

即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，

又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.

当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，

所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，

所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，＋∞)．

反思与感悟　在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．

跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？

(2)若函数f(x)＝4x3－ax＋3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？

解　(1)f′(x)＝12x2－a，

∵f(x)的单调递减区间为，

∴x＝±为f′(x)＝0的两个根，∴a＝3.

(2)若f(x)在上为单调增函数，则f′(x)≥0在上恒成立，

即12x2－a≥0在上恒成立，

∴a≤12x2在上恒成立，

∴a≤(12x2)min＝0.

当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．

∴a＝0符合题意．

若f(x)在上为单调减函数，

则f′(x)≤0在上恒成立，

即12x2－a≤0在上恒成立，

∴a≥12x2在上恒成立，

∴a≥(12x2)max＝3.

当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±时f′(x)＝0)．

因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.

1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，即Δ＝4－12m≤0，

∴m≥.

2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　　)

答案　D

解析　若函数在给定区间上是增函数，则y＝f′(x)>0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′(x)<0.

3．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有(　　)

A．f(x)g(x)>f(b)g(b)   B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(b)>f(b)g(x)   D．f(x)g(x)>f(a)g(a)

答案　C

解析　由条件，得′＝<0.

∴在(a，b)上是减函数．

∴<<，

∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．

4．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈－1,2]，都有f(x)<m，则实数m的取值范围是________．

答案　(7，＋∞)

解析　f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，

得x＝－或x＝1.

可判断求得f(x)max＝f(2)＝7.

∴f(x)<m恒成立时，m>7.

呈重点、现规律]

导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．

一、基础过关

1．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间－π，π]上的图象大致是(　　)

答案　A

解析　∵f(x)＝xcos x，

∴f′(x)＝cos x－xsin x.

∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，

∴函数图象关于y轴对称，排除C选项．

由f′(0)＝1可排除D选项．

而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，

从而观察图象即可得到答案为A.

2．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)

A.   B．(π，2π)

C.   D．(2π，3π)

答案　B

解析　y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y′恒大于或等于0即可．

∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥0恒成立．

3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　)

A．f(2)<f(e)<f(3)

B．f(e)<f(2)<f(3)

C．f(3)<f(e)<f(2)

D．f(e)<f(3)<f(2)

答案　A

解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＋>0在(0，＋∞)上恒成立，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(2)<f(e)<f(3)．

4．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)

答案　D

解析　由y＝f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都为减函数，

∴在(－∞，0)，(0，＋∞)上，

f′(x)<0恒成立，故D正确．

5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．

答案　3

解析　由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，

∴a≤3x2，∴a≤3.

6．若函数y＝x3＋x2＋m在－2,1]上的最大值为，则m＝________.

答案　2

解析　y′＝′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．

由y′＝0，得x＝0或x＝－1.

∴f(0)＝m，f(－1)＝m＋.

又∵f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，

∴f(1)＝m＋最大．

∴m＋＝.∴m＝2.

二、能力提升

7．已知函数f(x)、g(x)均为a，b]上的可导函数，在a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　)

A．f(a)－g(a)   B．f(b)－g(b)

C．f(a)－g(b)   D．f(b)－g(a)

答案　A

解析　设F(x)＝f(x)－g(x)，

F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，

∴F(x)在a，b]上为减函数，

∴当x＝a时，F(x)取最大值f(a)－g(a)．

8．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(　　)

A．f′(x)>0，g′(x)>0   B．f′(x)>0，g′(x)<0

C．f′(x)<0，g′(x)>0   D．f′(x)<0，g′(x)<0

答案　B

解析　由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．

∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，

∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．

∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．

∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.

9．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝x3－2x2＋1

10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在0，a]上的最值．

解　f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得f′(3)＝0，

∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，

∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.

令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，

得x1＝，x2＝3.

则x，f′(x)，f(x)的变化关系如下表.

∴f(x)在0,5]上的最大值为f(5)＝21，

最小值为f(3)＝－3.

11．设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤2x－2.

(1)解　f′(x)＝1＋2ax＋.

由已知条件得即

解得

(2)证明　因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln x.

设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，

则g′(x)＝－1－2x＋＝－.

当0<x<1时，g′(x)>0，

当x>1时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．

而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.

三、探究与拓展

12．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．

解　当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，

f′(x)＝(－x2＋2)ex.

当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，

所以－x2＋2>0，解得－<x<.

所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．

同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．

(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，

所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．

又f′(x)＝－x2＋(a－2)x＋a]ex，

即－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，

因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，

也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．

设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，

即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，

则y<1＋1－＝，故a≥.