高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用课时练习

1.5.3　定积分的概念

明目标、知重点

1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．

2．理解定积分的几何意义．

3．掌握定积分的基本性质．  

探究点一　定积分的概念

思考1　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

答　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．

思考2　怎样正确认识定积分ʃf(x)dx?

答　(1)定积分ʃf(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃf(x)dx与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．

(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而ʃf(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．

(3)函数f(x)在区间a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．

例1　利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值．

解　令f(x)＝x3.

(1)分割

在区间0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间0,1]等分成n个小区间，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.

(2)近似代替、求和

取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则

ʃx3dx≈Sn＝f()·Δx

＝ ()3·

＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.

(3)取极限

ʃx3dx＝Sn＝ (1＋)2＝.

反思与感悟　(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．

(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．

跟踪训练1　用定义计算ʃ(1＋x)dx.

解　(1)分割：将区间1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为

Δx＝.

(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得f(ξi)Δx＝(2＋)·＝

＝·n＋0＋1＋2＋…＋(n－1)]

＝2＋·＝2＋.

(3)取极限：S＝ ＝2＋＝.

因此ʃ(1＋x)dx＝.

探究点二　定积分的几何意义

思考1　从几何上看，如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？

答　当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．

思考2 　当f(x)在区间a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？

答　如果在区间a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．

由于>0，f(ξi)≤0，故

f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.

当f(x)在区间a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.

例2　利用几何意义计算下列定积分：

(1)ʃdx；(2)ʃ(3x＋1)dx.

解　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，

其面积为S＝·π·32.

由定积分的几何意义知ʃdx＝π.

(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：

ʃ(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，

∴ʃ(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.

反思与感悟　利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．

跟踪训练2　根据定积分的几何意义求下列定积分的值：

(1)ʃxdx；(2)ʃcos xdx；(3)ʃ|x|dx.

解　(1)如图(1)，ʃxdx＝－A1＋A1＝0.

(2)如图(2)，ʃcos xdx＝A1－A2＋A3＝0.

(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ|x|dx＝2A1＝2×＝1.

(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)

探究点三　定积分的性质

思考1　定积分的性质可作哪些推广？

答　定积分的性质的推广

①ʃf1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx±…±ʃfn(x)dx；

②ʃf(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中n∈N*)．

思考2　如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？

答　奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分

①若奇函数y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃf(x)dx＝0.

②若偶函数y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃg(x)dx＝2ʃg(x)dx.

例3　计算ʃ(－x3)dx的值．

解　如图，

由定积分的几何意义得ʃdx＝＝，

ʃx3dx＝0，由定积分性质得

ʃ(－x3)dx＝ʃdx－ʃx3dx＝.

反思与感悟　根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．

跟踪训练3　已知ʃx3dx＝，ʃx3dx＝，ʃx2dx＝，ʃx2dx＝，求：

(1)ʃ3x3dx；(2)ʃ6x2dx；(3)ʃ(3x2－2x3)dx.

解　(1)ʃ3x3dx＝3ʃx3dx＝3(ʃx3dx＋ʃx3dx)

＝3×(＋)＝12；

(2)ʃ6x2dx＝6ʃx2dx＝6(ʃx2dx＋ʃx2dx)＝6×(＋)＝126；

(3)ʃ(3x2－2x3)dx＝ʃ3x2dx－ʃ2x3dx

＝3ʃx2dx－2ʃx3dx＝3×－2×＝7－＝－.

1．下列结论中成立的个数是(　　)

①ʃx3dx＝·；

②ʃx3dx＝·；

③ʃx3dx＝·.

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　②③成立．

2．定积分ʃf(x)dx的大小(　　)

A．与f(x)和积分区间a，b]有关，与ξi的取法无关

B．与f(x)有关，与区间a，b]以及ξi的取法无关

C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间a，b]无关

D．与f(x)、积分区间a，b]和ξi的取法都有关

答案　A

3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：

①ʃxdx________ʃx2dx；

②ʃdx________ʃ2dx.

答案　①>　②<

4．若ʃx2dx＝9，则常数T的值为________．

答案　3

解析　令f(x)＝x2.

(1)分割

将区间0，T]n等分，则Δx＝.

(2)近似代替、求和

取ξi＝(i＝1,2，…，n)，

Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2)

＝·＝(1＋)(2＋)．

(3)取极限

S＝ ×2＝＝9,

∴T3＝27，∴T＝3.

呈重点、现规律]

1．定积分ʃf(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．

2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．

3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.

一、基础过关

1．下列命题不正确的是(　　)

A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃf(x)dx＝0

B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx

C．若f(x)在a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0

D．若f(x) 在a，b]上连续且ʃf(x)dx>0，则f(x)在a，b]上恒正

答案　D

解析　对于A，f(－x)＝－f(x)，ʃf(x)dx

＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝－ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，ʃf(x)dx>0即C正确；但ʃf(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.

2．已知定积分ʃf(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则ʃf(x)dx等于(　　)．

A．0  B．16  C．12  D．8

答案　B

解析　偶函数图象关于y轴对称，

故ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx＝16，故选B.

3．已知ʃxdx＝2，则ʃxdx等于(　　)

A．0  B．2  C．－1  D．－2

答案　D

解析　∵f(x)＝x在－t，t]上是奇函数，

∴ʃxdx＝0.而ʃxdx＝ʃxdx＋ʃxdx，

又ʃxdx＝2，

∴ʃxdx＝－2.故选D.

4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　)

A．ʃ(x2－4)dx

B.

C．ʃ|x2－4|dx

D．ʃ(x2－4)dx＋ʃ(x2－4)dx

答案　C

5．设a＝ʃxdx，b＝ʃx2dx，c＝ʃx3dx，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c>a>b   B．a>b>c

C．a＝b>c   D．a>c>b

答案　B

解析　根据定积分的几何意义，易知ʃx3dx<ʃx2dx<ʃxdx，a>b>c，故选B.

6．若ʃ|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为(　　)

A．6  B．56  C．36  D．2 016

答案　A

解析　由ʃ|56x|dx＝56ʃ|x|dx≤2 016，

得ʃ|x|dx≤36，∴ʃ|x|dx＝2ʃxdx＝a2≤36，

即0<a≤6.故正数a的最大值为6.

7.ln 等于(　　)

A．ʃln2xdx   B．2ʃln xdx

C．2ʃln(1＋x)dx   D．ʃln2(1＋x)dx

答案　B

解析　ln

＝ ln

＝2 ＝2ʃln xdx(这里f(x)＝ln x，区间1,2]或者2 ＝2ʃln(1＋x)dx，区间0,1])．

二、能力提升

8．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.

答案　－ʃsin xdx

解析　由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－ʃsin xdx.

9．计算定积分ʃdx＝________.

答案　π

解析　由于ʃdx＝2ʃdx表示单位圆的面积π，所以ʃdx＝π.

10．设f(x)是连续函数，若ʃf(x)dx＝1，ʃf(x)dx＝－1，则ʃf(x)dx＝________.

答案　－2

解析　因为ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx，

所以ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx－ʃf(x)dx＝－2.

11．利用定积分的定义计算ʃ(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．

解　令f(x)＝－x2＋2x.

(1)分割

在区间1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间1,2]等分为n个小区间1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.

(2)近似代替、求和

取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则

Sn＝f(1＋)·Δx＝－(1＋)2＋2(1＋)]·

＝－(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]

＝－－]＋·

＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋.

(3)取极限

ʃ(－x2＋2x)dx＝Sn＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋]＝，

ʃ(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．

12．用定积分的意义求下列各式的值：

(1)ʃ(2x＋1)dx；(2)dx.

解　(1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，

ʃ(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知

ʃ(2x＋1)dx＝12.

(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．

S弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－，

S矩形＝|AB|·|BC|

＝2××＝，

∴dx＝－＋＝＋.

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间－2,2π]上的积分．

解　由定积分的几何意义知

ʃx3dx＝0，

ʃ2xdx＝

＝π2－4，

ʃcos xdx＝0，

由定积分的性质得

ʃf(x)dx＝ʃx3dx＋ʃ2xdx＋ʃcos xdx

＝π2－4.