人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理同步训练题

2.1.2　演绎推理

明目标、知重点

1．理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．

1．演绎推理

2.三段论

情境导学]

小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？

探究点一　演绎推理与三段论

思考1　分析下面几个推理，找出它们的共同点．

(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；

(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；

(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；

(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.

答　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．

思考2　演绎推理有什么特点？

答　演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．

思考3　演绎推理的结论一定正确吗？

答　在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．

思考4　演绎推理一般是怎样的模式？

答　“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：

(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；

(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

解　(1)平行四边形的对角线互相平分，        大前提

菱形是平行四边形，         小前提

菱形的对角线互相平分．         结论

(2)等腰三角形的两底角相等，         大前提

∠A，∠B是等腰三角形的底角，         小前提

∠A＝∠B.         结论

(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列， 大前提

通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－2(n－1)＋3]＝2(常数)，       小前提

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．      结论

反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

跟踪训练1　把下列推断写成三段论的形式：

(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；

(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；

(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

解　(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形， 大前提

△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，      小前提

△ABC是直角三角形．         结论

(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，      大前提

函数y＝2x＋5是一次函数，         小前提

函数y＝2x＋5的图象是一条直线．         结论

(3)三角函数是周期函数，         大前提

y＝sin x(x∈R)是三角函数，         小前提

y＝sin x(x∈R)是周期函数．         结论

探究点二　三段论推理中的易错点

例2　指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：

(1)整数是自然数，         大前提

－3是整数，         小前提

－3是自然数．         结论

(2)常函数的导函数为0，         大前提

函数f(x)的导函数为0，         小前提

f(x)为常函数．         结论

(3)无限不循环小数是无理数，         大前提

(0.333 33…)是无限不循环小数，         小前提

是无理数．         结论

解　(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．

(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．

(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．

反思与感悟　演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．

跟踪训练2　指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：

(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提

北京大学是中国的大学，小前提

所以北京大学分布在中国各地．结论

(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提

而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提

所以菱形是正多边形．结论

解　(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．

探究点三　三段论的应用

例3　如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．

证明　(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，     大前提

在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，        小前提

所以△ABD是直角三角形．          结论

同理，△AEB也是直角三角形．

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，      大前提

因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线，        小前提

所以DM＝AB.          结论

同理EM＝AB.

所以DM＝EM.

反思与感悟　应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．

跟踪训练3　已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.

证明　三角形的中位线平行于底边，大前提

点E、F分别是AB、AD的中点，小前提

所以EF∥BD.结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提

EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提

EF∥平面BCD.结论

1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

D．在数列{an}中a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式

答案　A

解析　A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．

2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”下列说法正确的是(　　)

A．大前提错误导致结论错误

B．小前提错误导致结论错误

C．推理形式错误导致结论错误

D．大前提和小前提都错误导致结论错误

答案　A

解析　y＝logax是增函数错误．故大前提错．

3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；

小前提：____________；

结论：____________.

答案　二次函数的图象是一条抛物线　函数y＝x2＋x＋1是二次函数　函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线

4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>BCD.

证明：在△ABC中，

因为CD⊥AB，AC>BC，  ①

所以AD>BD,    ②

于是∠ACD>∠BCD.    ③

则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)

答案　③

解析　由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．

呈重点、现规律]

1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．

2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.

一、基础过关

1．下列表述正确的是(　　)

①归纳推理是由部分到整体的推理；

②归纳推理是由一般到一般的推理；

③演绎推理是由一般到特殊的推理；

④类比推理是由特殊到一般的推理；

⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．

A．①②③   B．②③④

C．②④⑤   D．①③⑤

答案　D

解析　根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．

2．下列说法不正确的是(　　)

A．演绎推理是由一般到特殊的推理

B．赋值法是演绎推理

C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断

D．归纳推理的结论都不可靠

答案　D

3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)

A．结论正确   B．大前提不正确

C．小前提不正确   D．全不正确

答案　C

解析　由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．

4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是(　　)

A．正方形都是对角线相等的四边形

B．矩形都是对角线相等的四边形

C．等腰梯形都是对角线相等的四边形

D．矩形都是对边平行且相等的四边形

答案　B

解析　利用三段论分析：

大前提：矩形都是对角线相等的四边形；

小前提：四边形ABCD是矩形；

结论：四边形ABCD的对角线相等．

5．给出演绎推理的“三段论”：

直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)

已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)

则直线b∥直线a.(结论)

那么这个推理是(　　)

A．大前提错误   B．小前提错误

C．推理形式错误   D．非以上错误

答案　A

6．下列几种推理过程是演绎推理的是(　　)

A．5和2可以比较大小

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人

D．预测股票走势图

答案　A

7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.

证明　因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．

设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．

二、能力提升

8．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是__________________．

答案　y＝的定义域是4，＋∞)

解析　由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.

9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.

其中正确的命题个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.

10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：

其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)．

答案　②③

11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．

证明　大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．

小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．

结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．

12．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．

解　∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴(a－)(ex－)＝0对于一切x∈R恒成立，

由此得a－＝0，

即a2＝1.又a>0，

∴a＝1.

三、探究与拓展

13．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．

(1)5＝2＋3请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；

(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．

解　(1)由f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝×＋×＝

又g(5)＝，因此，

g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．

(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，

即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，

于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．

证明：因为f(x)＝，g(x)＝，(大前提)

所以g(x＋y)＝，

g(y)＝，f(y)＝，(小前提及结论)

所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝×＋×

＝＝g(x＋y).