高中人教版新课标A2.3数学归纳法达标测试

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明章末复习课 新人教版选修2-2

题型一　合情推理与演绎推理

1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．

2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．

例1　(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．

(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则

①a2＋b2＝c2；

②cos2A＋cos2B＝1；

③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？

(1)答案　f(n)＝n3

解析　由于1＝13,3＋5＝8＝23，

7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.

(2)解　选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．

①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.

②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.

反思与感悟　(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．

(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．

跟踪训练1　(1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．

①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的轨迹是椭圆；

②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式；

③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．

答案　②　③④

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn, 则T4，______，______，成等比数列．

答案　　

解析　等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．

题型二　综合法与分析法

综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．

例2　用综合法和分析法证明．

已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.

证明　(分析法)

要证明2sin 2α≤成立．

只要证明4sin αcos α≤.

∵α∈(0，π)，∴sin α>0.

只要证明4cos α≤.

上式可变形为

4≤＋4(1－cos α)．

∵1－cos α>0，

∴＋4(1－cos α)≥2＝4，

当且仅当cos α＝，即α＝时取等号．

∴4≤＋4(1－cos α)成立．

∴不等式2sin 2α≤成立．

(综合法)

∵＋4(1－cos α)≥4，

(1－cos α>0，当且仅当cos α＝，即α＝时取等号)

∴4cos α≤.

∵α∈(0，π)，∴sin α>0.

∴4sin αcos α≤.

∴2sin 2α≤.

跟踪训练2　求证：－2cos(α＋β)＝.

证明　∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α

＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α

＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝sin(α＋β)－α]＝sin β，

两边同除以sin α得

－2cos(α＋β)＝.

题型三　反证法

反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．

反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的．

例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立．

证明　假设<2和<2都不成立，

则有≥2和≥2同时成立．

因为x>0且y>0，

所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，

两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，

所以x＋y≤2.

这与已知x＋y>2矛盾．

故<2与<2至少有一个成立．

反思与感悟　反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．

跟踪训练3　已知：ac≥2(b＋d)．

求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．

证明　假设两方程都没有实数根，

则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．

题型四　数学归纳法

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．

例4　用数学归纳法证明当n∈N*时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)·(n＋2)．

证明　(1)当n＝1时，1＝·1·2·3，结论成立．

(2)假设n＝k时结论成立，

即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－2)·3＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)．

当n＝k＋1时，则1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1

＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)]

＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)

＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)，

即当n＝k＋1时结论也成立．

综合上述，可知结论对一切n∈N*都成立．

跟踪训练4　数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋1.

(1)写出a2，a3，a4.

(2)求数列{an}的通项公式．

解　(1)因为a1＝1，an＋1＝an＋1，所以a2＝a1＋1＝＋1＝.

a3＝a2＋1＝·＋1＝.

a4＝a3＋1＝·＋1＝.

(2)证明　方法一　猜想an＝.下面用数学归纳法证明，

(1)当n＝1时，a1＝＝1，满足上式，显然成立；

(2)假设当n＝k时ak＝，那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝ak＋1＝·＋1＝＋1＝＝满足上式，

即当n＝k＋1时猜想也成立，

由(1)(2)可知，对于n∈N*都有an＝.

方法二　因为an＋1＝an＋1，所以an＋1－2＝an＋1－2，即an＋1－2＝(an－2)，

设bn＝an－2，则bn＋1＝bn，即{bn}是以b1＝－1，为公比的等比数列，

所以bn＝b1·qn－1＝－，所以an＝bn＋2＝.

呈重点、现规律]

1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．

2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．

3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．

4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．