高中数学人教版新课标A选修2-22.2直接证明与间接证明同步测试题

2.2.2　反证法

明目标、知重点

1．了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．

1．定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 

2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

情境导学]

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．

探究点一　反证法的概念

思考1　通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？

答　(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．

思考2　反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？

答　(1)与原题中的条件矛盾；

(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；

(3)与假设矛盾．

思考3　反证法主要适用于什么情形？

答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

探究点二　用反证法证明定理、性质等一些事实结论

例1　已知直线a，b和平面α，如果a⊄α，b⊂α，且a∥b，求证：a∥α.

证明　因为a∥b，

所以经过直线a，b确定一个平面β.

因为a⊄α，而a⊂β，所以α与β是两个不同的平面．

因为b⊂α，且b⊂β，所以α∩β＝b.

下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．

假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，

则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，

这与a∥b矛盾．所以a∥α.

反思与感悟　数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．

跟踪训练1　如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.

求证：直线b与平面α必相交．

证明　假设b与平面α不相交，即b⊂α或b∥α.

①若b⊂α，因为b∥a，a⊄α，所以a∥α，

这与a∩α＝A相矛盾；

②如图所示，如果b∥α，

则a，b确定平面β.

显然α与β相交，

设α∩β＝c，因为b∥α，

所以b∥c.又a∥b，

从而a∥c，且a⊄α，c⊂α，

则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．

由①②知，假设不成立，

故直线b与平面α必相交．

探究点三　用反证法证明否定性命题

例2　求证：不是有理数．

证明　假设是有理数．于是，

存在互质的正整数m，n，

使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2，

所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有

4k2＝2n2，即n2＝2k2，

所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．

由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数．

反思与感悟　当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．

跟踪训练2　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．

证明　假设，，成等差数列，则

＋＝2，即a＋c＋2＝4b，

而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，

∴(－)2＝0.即＝，

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故，，不成等差数列．

探究点四　含至多、至少、唯一型命题的证明

例3　若函数f(x)在区间a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间a，b]上至多有一个实根．

证明　假设方程f(x)＝0在区间a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f(x)在a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间a，b]上至多有一个实根．

反思与感悟　当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．

跟踪训练3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.

证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

所以a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π

＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，

所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

故a、b、c中至少有一个大于0.

1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(　　)

A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D．三角形中三个角都是直角或钝角

答案　B

2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　)

A．有一个内角小于60°   B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°   D．每一个内角都大于60°

答案　B

3．“a<b”的反面应是(　　)

A．a≠b   B．a>b

C．a＝b   D．a＝b或a>b

答案　D

4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(　　)

A．a不垂直于c   B．a，b都不垂直于c

C．a⊥b   D．a与b相交

答案　D

5．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．

证明　由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.

如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，　　①

ax2＝b.             ②

①－②，得a(x1－x2)＝0.

因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．

所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．

呈重点、现规律]

1．反证法证明的基本步骤是什么？

(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)

(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)

2．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？

反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的.

一、基础过关

1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)

①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾

A．①②  B．①③  C．①③④  D．①②③④

答案　D

2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　)

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

答案　D

解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c”中都是奇数或至少有两个偶数．

3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有(　　)

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

答案　B

解析　①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．

4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)

A．a，b都能被5整除   B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除   D．a不能被5整除

答案　B

解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．

5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为(　　)

A．a，b，c都是偶数　　　　　B．a，b，c都不是偶数

C．a，b，c中至多一个是偶数  D．至多有两个偶数

答案　B

解析　a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．

6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_________________________.

答案　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

解析　“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．

7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．

证明　设f(x)＝0有一个整数根k，则

ak2＋bk＝－c.①

又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，

∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；

当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．

二、能力提升

8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为(　　)

A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn＋1

D．存在正整数n，使xn≤xn＋1

答案　D

解析　“任意”的反语是“存在一个”．

9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)

A．都大于2   B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2   D．至少有一个不大于2

答案　C

解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，

则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.

又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.

10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．

答案　a≤－2或a≥－1

解析　若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－2<a<0，故－2<a<－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a≤－2或a≥－1.

11．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.

求证：a>0，b>0，c>0.

证明　用反证法：

假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，

可得c>－(a＋b)，

又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，

ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab，

即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2，

∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，

这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．

因此a>0，b>0，c>0成立．

12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.

证明　假设三个式子同时大于，

即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，

三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①

又因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤()2＝.

同理0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤，

所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤②

①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

三、探究与拓展

13．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：

(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；

(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.

证明　(1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，

又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，

由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．

(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，

因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，

所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，

这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，

所以假设不正确，所以原命题成立．