人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用第1课时当堂检测题

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1．函数的单调性与其导数正负的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

思考1在(a，b)内，f′(x)＞0⇔函数y＝f(x)在这个区间上单调递增吗？

提示：不等价．函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增可能推出f′(x)≥0，如f(x)＝x3在R上是增函数，其f′(x)＝3x2≥0.

2．函数单调性与导数值大小的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．

思考2如何用曲线的切线的斜率来理解单调性与导函数的关系？

提示：当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数曲线呈向下减少状态．

思考3如何理解函数的单调性与导数的关系？

提示：(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间．

(3)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.

(4)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．