高中数学人教版新课标A选修2-21.6微积分基本定理课后测评

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1．微积分基本定理

(1)定理内容：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．

(2)符号表示：f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．

(3)作用：建立了积分与导数间的密切联系，并提供了计算定积分的有效方法．

思考1满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)是唯一的吗？这影响微积分基本定理的正确性吗？

提示：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)不是唯一的，这些函数之间相差一个常数，即[F(x)＋c]′＝f(x)，但这并不影响微积分基本定理，

因为f(x)dx＝[F(x)＋c]

＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，

所以用一个最简单的原函数F(x)就可以．

思考2求导数运算与求原函数运算有什么关系？

提示：求导数运算与求原函数运算可以看做是互逆的运算，但一个函数的导函数是唯一的，而一个导函数的原函数却不止一个，这些原函数之间仅相差一个常数，在利用微积分基本定理计算定积分时，只要选用最简单的一个即可．

2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则

(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上．

(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则f(x)dx＝－S下．

(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下．

若S上＝S下，则f(x)dx＝0.