人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试课后复习题

第一章测评A

(基础过关卷)

(时间：90分钟　满分：100分)

第Ⅰ卷(选择题　共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知f(x)＝，则f′(e)＝(　　)

A．          B．

C．－        D．－

2．曲线f(x)＝ex＋x在(1，f(1))的切线方程为(　　)

A．(1＋e)x－y＝0

B．ex－y＋1＝0

C．(1＋e)x＋y－2(1＋e)＝0

D．x－(1＋e)y＝0

3．函数f(x)＝aln x＋x在x＝1处取得极值，则a的值为(　　)

A．        B．－1

C．0        D．－

4．函数f(x)＝(　　)

A．在(0,2)上单调递减

B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增

C．在(0,2)上单调递增

D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减

5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝2x2，x∈(－1,1)．如果f(x)＜f(1－x)，则实数x的取值范围为(　　)

A．        B．(－1,1)

C．         D．

6．cos 2xdx＝(　　)

A．        B．

C．        D．－

7．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)

A．在(－∞，0)上为减函数

B．在x＝0处取极小值

C．在(4，＋∞)上为减函数

D．在x＝2处取极大值

8．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是(　　)

A．a＞－1         B．－1＜a＜0

C．0＜a＜1        D．a＞1

9．如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)

A．3π        B．3π

C．3π        D．3π

10．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　)

A．[－1，＋∞)        B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1]        D．(－∞，－1)

第Ⅱ卷(非选择题　共50分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)

11．由曲线y＝ex＋x与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成图形的面积等于__________．

12．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为__________．

13．函数f(x)＝(x2－3)ex在[0,2]上的最大值为__________．

14．若f(x)＝则f(x)dx＝__________.

15．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的减区间是__________．

三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题6分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在x＝－与x＝1处都取得极值．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[－2,2]的最大值与最小值．

17．(本小题6分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．

(1)求实数a，b的值；

(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．

18．(本小题6分)已知函数f(x)＝.

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)若y＝xf(x)＋的图象总在直线y＝a的上方，求实数a的取值范围．

19．(本小题7分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．

(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．

参考答案

一、1．解析：∵f′(x)＝＝，

∴f′(e)＝＝－.

答案：D

2．解析：f′(x)＝1＋ex，k＝f′(1)＝1＋e.

∵f(1)＝1＋e，

∴切线方程为y－(1＋e)＝(1＋e)(x－1)，

即(1＋e)x－y＝0.

答案：A

3．解析：f′(x)＝＋1，令f′(x)＝0，得x＝－a，

所以函数f(x)在x＝－a处取得极值，

所以a＝－1.

答案：B

4．解析：f′(x)＝＝＝.

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.

∴x∈(－∞，0)和x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，

x∈(0,1)和x∈(1,2)时，f′(x)＜0，故选B．

答案：B

5．解析：∵f′(x)＝2x2≥0，∴f(x)在(－1,1)上单调递增，故x＜1－x，又－1＜x＜1，－1＜1－x＜1，解得0＜x＜.

答案：D

6．解析：cos 2xdx＝×sin 2x＝.

答案：A

7．解析：由图可知f(x)在(0,2)和(4，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)和(2,4)上单调递增，∴f(x)在x＝0时取极大值，x＝2取极小值，故C正确．

答案：C

8．解析：∵f(x)在x＝a处取得极大值，∴f(x)在x＝a附近左增右减，分a＞0，a＝0，a＜0讨论易知－1＜a＜0.

答案：B

9．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，

则4r＋2h＝l，∴h＝.

V＝πr2h＝πr2－2πr3.

则V′＝lπr－6πr2，

令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，

∴r＝是其唯一的极值点．

∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.

答案：A

10．解析：f′(x)＝－x＋.

∵f(x)在(－1，＋∞)上是减函数，

∴f′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，

∴b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．

又∵x(x＋2)＝(x＋1)2－1＜－1，

∴b≤－1.

答案：C

二、11．解析：由已知面积S＝(ex＋x)dx＝＝e＋－1＝e－.

答案：e－

12．解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.

又点P在第二象限，∴x＝－2.

∴点P的坐标为(－2,15)．

答案：(－2,15)

13．解析：f′(x)＝2xex＋ex(x2－3)＝ex(x2＋2x－3)，

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍)，

∴在x∈[0,1]上，f(x)递减，在[1,2]上，f(x)递增．

又∵f(0)＝－3，f(2)＝e2，

∴f(x)max＝e2.

答案：e2

14．解析：f(x)dx＝(－x)dx＋(x2＋3)dx

＝＋＝.

答案：

15．解析：f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±.

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减．

∴f(－)＝6，f()＝2.

∴

解得a＝1，b＝4.

∴f′(x)＝3x2－3.

∴令f′(x)＜0，得－1＜x＜1.

答案：(－1,1)

三、16．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

由题意

即

解得经检验符合题意，

∴f(x)＝x3－x2－2x.

(2)由(1)知f′(x)＝3(x－1)，

令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表知fmax(x)＝f(2)＝2，fmin(x)＝f(－2)＝－6.

17．解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，

∴a＋b＝4.①

f′(x)＝3ax2＋2bx，

则f′(1)＝3a＋2b.

由已知得f′(1)·＝－1，

即3a＋2b＝9.②

由①②，得a＝1，b＝3.

(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，

令f′(x)＝3x2＋6x≥0，

得x≥0或x≤－2，

故由f(x)在[m，m＋1]上单调递增，得[m，m＋1]⊆[0，＋∞)或[m，m＋1]⊆(－∞，－2]，

∴m≥0或m＋1≤－2，

即m≥0或m≤－3.

∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞)．

18．解：(1)f′(x)＝.

当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；

当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．

(2)依题意得，不等式a＜ln x＋对于x＞0恒成立．

令g(x)＝ln x＋，

则g′(x)＝－＝.

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝＞0，

则g(x)是(1，＋∞)上的增函数；

当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，则g(x)是(0,1)上的减函数．

所以g(x)的最小值是g(1)＝1，从而a的取值范围是(－∞，1)．

19．解：(1)由题意，该产品一年的销售量y＝，

将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.

该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.

L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．

(2)L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]

＝500e40－x(31＋a－x)．

①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，

当且仅当a＝4，x＝35时取等号．

所以L(x)在[35,41]上单调递减．

因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.

②当4＜a≤5时，L′(x)＞0⇔35≤x＜31＋a；

L′(x)＜0⇔31＋a＜x≤41.

所以L(x)在[35,31＋a)上单调递增，在(31＋a,41]上单调递减．

因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.

答：当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；

当4＜a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．