高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差当堂检测题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)

A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐

B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同

D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较

【解析】　∵D(X甲)>D(X乙)，

∴乙种水稻比甲种水稻整齐．

【答案】　B

2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)

A．n＝4，p＝0.6　　　　 B．n＝6，p＝0.4

C．n＝8，p＝0.3   D．n＝24，p＝0.1

【解析】　由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，

∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.

【答案】　B

3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　)

A．6　　　　B．9　　　　C．3　　　　D．4

【解析】　E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.

D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.

【答案】　A

4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　　)

A.   B. 

C.   D．5

【解析】　两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～B，

因此D(ξ)＝10××＝.故选A.

【答案】　A

5．已知X的分布列为(　　)

则①E(X)＝－，②D(X)＝，③P(X＝0)＝.

其中正确的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

【解析】　E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故①正确；

D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确；③P(X＝0)＝显然正确．

【答案】　C

二、填空题

6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.

【解析】　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，

则解得

所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.

【答案】　

7．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．

【解析】　由独立重复试验的方差公式可以得到

D(ξ)＝np(1－p)≤n2＝，等号在p＝1－p＝时成立，所以D(ξ)max＝100××＝25，＝＝5.

【答案】　　5

8．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．

【解析】　设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.

由题知X～B(25,0.6)，

所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，

E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×

D(X)＝16×6＝96，

所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.

【答案】　60,96

三、解答题

9．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：

根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．

【解】　∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．

∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；

D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.

∴D(X1)<D(X2)．

由上可知，A面大钟的质量较好．

10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．

(1)求X的分布列、期望和方差；

(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．

【解】　(1)X的分布列为：

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.

D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.

(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.

又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；

当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.

∴或即为所求．

[能力提升]

1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　)

A.   B. 

C．3   D.

【解析】　∵E(X)＝x1＋x2＝.

∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×＋2×＝.

∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3.

【答案】　C

2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　) 【导学号：97270052】

A．8  B．12  C.  D．16

【解析】　由题意可知ξ～B，

∴n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.

又D(ξ)＝n××＝×36＝8.

【答案】　A

3．变量ξ的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．

【解析】　由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，

又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.

又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，

故分布列为

∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.

【答案】　

4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2­3­3所示．

图2­3­3

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．

【解】　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此

P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，

P(A2)＝0.003×50＝0.15，

P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为

P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，

P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，

P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，

P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，

则X的分布列为

因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，

方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.