人教版新课标A选修4-1一 圆周角定理一课一练

课时跟踪检测(六)  圆周角定理

一、选择题

1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　　)

A．40°　　B．25°  C．50°   D．60°

解析：选A　连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.

2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是(　　)

A．AE＝BE  B．OE＝DE  C．∠AOD＝50°   D．D是的中点

解析：选B　因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，

所以＝，AE＝BE.

因为∠BCD＝25°，

所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，

故A、C、D项结论正确，选B.

3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆的半径为(　　)

A.  B．2  C．2   D．4

解析：选B　由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.

4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan ∠BPD等于(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：选D　连接BD，则∠BDP＝90°.

∵△CPD∽△APB，∴＝＝.

在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝＝，

∴tan ∠BPD＝.

二、填空题

5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________.

解析：AB是⊙O的直径，所以弧ACB的度数为180 °，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.

答案：22°

6．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______．

解析：如图，连接AB，AC，

由A，E为半圆周上的三等分点，

得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，

∠ACB＝30°.

由BC＝4，

得AB＝2，AD＝，BD＝1，

则DF＝，故AF＝.

答案：

7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于点D，若AD＝4，则AE＝________.

解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC.

又△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠AEC＝∠ACB，

∴△ADC∽△ACE，

∴＝，

∴AE＝＝9.

答案：9

三、解答题

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.

(1)求证：CB∥MD；

(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．

解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，

所以∠C＝∠M.

又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，

所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．

(2)由sin M＝知，sin C＝，

所以＝，BN＝×4＝.

由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.

所以⊙O的直径为6.

9.如图，已知△ABC内接于圆，D为的中点，连接AD交BC于点E.

求证：(1)＝；

(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.

证明：(1)连接CD.

∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，

∴△ABE∽△CDE.∴＝.

(2)连接BD.

∵＝，

∴AE·DE＝BE·EC.

∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE

＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①

在△ABD与△AEC中，∵D为的中点，

∴∠1＝∠2.

又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，

∴△ABD∽△AEC.∴＝，

即AB·AC＝AD·AE②

由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.

10.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.

(1)求证：BD＝DC＝DI；

(2)若⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°，求△BCD的面积．

解：(1)证明：因为AI平分∠BAC，

所以∠BAD＝∠DAC，

所以＝，所以BD＝DC.

因为BI平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI，

因为∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，

所以∠BAD＝∠DBC.

又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，

∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，

所以∠DBI＝∠DIB，所以△BDI为等腰三角形，

所以BD＝ID，所以BD＝DC＝DI.

(2)当∠BAC＝120°时，

△ABC为钝角三角形，

所以圆心O在△ABC外．

连接OB，OD，OC，

则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD

＝120°，

所以∠DBC＝∠DCB＝60°，

所以△BDC为正三角形．

所以OB是∠DBC的平分线．

延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，

所以BE＝BD.

又因为OB＝10，

所以BC＝BD＝2OBcos 30°＝2×10×＝10，

所以CE＝BC·sin 60°＝10×＝15，

所以S△BCD＝BD·CE＝×10×15＝75.

所以△BCD的面积为75.