高中数学人教版新课标A选修4-1第二讲 直线与圆的位置关系一 圆周角定理练习题

模块综合检测(一)

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中只有x个三角形与△ABC相似，则x的值为(　　)

A．1   B．2  C．3   D．4

解析：选B　由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD，△BCD均与△ABC相似．

2．已知：如图，▱ABCD中，EF∥AC交AD，DC于E，F两点，AD，BF的延长线交于点M，则下列等式成立的是(　　)

A．AD2＝AE·AM   B．AD2＝CF·DC

C．AD2＝BC·AB   D．AD2＝AE·ED

解析：选A　在▱ABCD中，

∵DF∥AB，∴＝.

∵DM∥BC，∴＝.

∵EF∥AC，∴＝.

∴＝，

∴AD2＝AE·AM.

3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是(　　)

A．射影为线段时，线段的长为8

B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8

C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8

D．射影为圆时，圆的直径可能为4

解析：选D　由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.

4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为(　　)

A．1   B.

C.   D.

解析：选B　∵PQ⊥PC，

∴∠APQ＋∠BPC＝90°，

∴∠APQ＝∠BCP.

∴Rt△APQ∽Rt△BCP.

∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，

∴PB＝3，AP＝1.

∴＝.

即AQ＝＝＝，

∴PQ＝＝＝.

5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB＝BC，则等于(　　)

A．2  B.  C.  D．1

解析：选C　利用切割线定理得PA2＝PB·PC，又PB＝PC，∴PA2＝3PB2，∴＝.

6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于(　　)

A．15°   B．20°

C．25°   D．30°

解析：选B　∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠POC＝2∠A＝70°.

∵OC⊥PC，

∴∠P＝90°－∠POC＝20°.

7.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于(　　)

A．30°　　　　　　   B．35°

C．40°   D．45°

解析：选C　∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

由此得∠ACO＝∠CAD.

∵OC＝OA，

∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠CAO.

故AC平分∠DAB，

∴∠CAO＝40°.

又∠ACO＝∠CAO，

∴∠ACO＝40°.

8.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是(　　)

A．①②④   B．①③④

C．②③④   D．①②③

解析：选D　显然①可由△PCD≌△HCD得到；②因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，②成立；而③连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④不能判定DH是圆的切线，故应选D.

9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.  C.   D.

解析：选C　如图所示为截面的轴面，

则AB＝8，SB＝6，SA＝10，

则∠SBA＝，

cos ∠ASB＝，

cos ∠BSP＝cos∠ASB＝＝.

∴cos ∠SPB＝sin ∠BSP＝.

∴e＝＝.

10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：

①∠B＋∠DAC＝90°，

②∠B＝∠DAC，

③＝，

④AB2＝BD·BC.

其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有(　　)

A．3个   B．2个  C．1个   D．0个

解析：选A　验证法：①不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，则∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC等于90°；而②中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，则△ABC∽△DAC，又△DAC为直角三角形，所以△ABC为直角三角形；在③中，由＝可得△ACD∽△BAD，则∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，所以∠BAD＋∠DAC＝90°；而④中AB2＝BD·BC，即＝，∠B为公共角，则△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．所以正确命题有3个．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)

11.(陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.

解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，

∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，

∴△AEF∽△ACB，

∴＝，

即＝，

∴EF＝3.

答案：3

12．如图，AB是⊙O的直径，＝，AB＝10，BD＝8，则cos ∠BCE＝________.

解析：如图，连接AD.

则∠ADB＝90°，且∠DAC＝∠B，

所以cos ∠BCE＝cos ∠DAB

＝＝＝.

答案：

13.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝________.

解析：由于PC切⊙O于点C，

由切割线定理得PC2＝PA·PB，

∴PA＝＝＝2，

∴AB＝PB－PA＝8－2＝6.

由于CD⊥AB，且AB为圆O的直径，

由垂径定理知CE＝DE，连接OC，

在Rt△OCP中，由射影定理，得OC2＝OE·OP，

则OE＝＝，

∵CE2＝OE·EP＝×＝×，

∴CE＝，

∴CD＝.

答案：

14．如图，△ABC中，AD∥BC，连接CD交AB于E，且AE∶EB＝1∶2，过E作EF∥BC交AC于F，若S△ADE＝1，则S△AEF＝________.

解析：∵AD∥BC，

∴△ADE∽△BCE.

∴＝＝.

∵EF∥AD，

∴＝＝.

∵△ADE与△AFE的高相同，

∴＝＝.

∴S△AEF＝.

答案：

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)如图，已知AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F.

(1)求证：E，F，G，B四点共圆；

(2)若GF＝2FA＝4，求线段AC的长．

解：(1)证明：如图，连接GB，由AB为圆O的直径可知∠AGB＝90°.

又CD⊥AB，所以∠AGB＝∠BEF＝90°.

因此E，F，G，B四点共圆．

(2)连接BC.

由E，F，G，B四点共圆得AF·AG＝AE·AB.

又AF＝2，AG＝6，

所以AE·AB＝12.

因为在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝2.

16.(本小题满分12分)如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：

(1)∠BFM＝∠PEF；

(2)PF2＝PD·PC.

证明：(1)连接OE.

∵PE切⊙O于点E，

∴OE⊥PE.

∴∠PEF＋∠FEO＝90°.

又∵AB⊥CD，

∴∠B＋∠BFM＝90°.

又∵∠B＝∠FEO，

∴∠BFM＝∠PEF.

(2)∵∠EFP＝∠BFM，

∴∠EFP＝∠PEF.

∴PE＝PF.

又∵PE2＝PD·PC，

∴PF2＝PD·PC.

17.(本小题满分12分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.

(1)求证：B，P，E，F四点共圆；

(2)若CD＝2，CB＝2，求出由B，P，E，F四点所确定的圆的直径．

解：(1)证明：如图，连接PB.

因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.

因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，

所以B，P，E，F四点共圆．

(2)连接PF，因为B，P，E，F四点共圆，

且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.

因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝2，

所以由切割线定理得CB2＝CD·CE，

所以CE＝4，所以DE＝2，则BP＝PE＝1.

又因为Rt△CBP ∽Rt△CEF，

所以＝，得EF＝.

在Rt△FEP中，PF＝＝，

即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.

18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.

(1)求证：∠P＝∠EDF；

(2)求证：CE·EB＝EF·EP；

(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．

解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，

∴＝.

∵∠DEF是公共角，

∴△DEF∽△CED.

∴∠EDF＝∠C.

∵CD∥AP，

∴∠C＝∠P.

∴∠P＝∠EDF.

(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，

∴△DEF∽△PEA.

∴＝.即EF·EP＝DE·EA.

∵弦AD，BC相交于点E，

∴DE·EA＝CE·EB.

∴CE·EB＝EF·EP.

(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.

∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.

∵CE·EB＝EF·EP，

∴9×6＝4×EP.

解得：EP＝.

∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.

由切割线定理得：PA2＝PB·PC，

∴PA2＝×.∴PA＝.