高中数学人教版新课标A选修4-1二 平面与圆柱面的截线随堂练习题

课时跟踪检测(十一)  平行射影  平面与圆柱面的截线  平面与圆锥面的截线

一、选择题

1．一条直线在一个面上的平行投影是(　　)

A．一条直线   B．一个点

C．一条直线或一个点   D．不能确定

解析：选C　当直线与面垂直时，平行投影可能是点．

2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是(　　)

A．三角形   B．一直线

C．三角形或一直线   D．以上均不正确

解析：选D　当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．

3．下列说法不正确的是(　　)

A．圆柱面的母线与轴线平行

B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面

C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关

D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径

解析：选D　显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．

4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C．1   D.

解析：选B　由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝.

二、填空题

5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.

解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．

答案：圆　圆或椭圆

6．有下列说法：

①矩形的平行射影一定是矩形；

②梯形的平行射影一定是梯形；

③平行四边形的平行射影可能是正方形；

④正方形的平行射影一定是菱形；

其中正确命题是________．(填上所有正确说法的序号)

解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．

答案：③

7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．

解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，

由对称性知AB过圆柱的几何中心O.

由O1O⊥OD，O1C⊥OA，

故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，

所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，

则AO＝O1O.

故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.

显然AB即为椭圆的长轴，

所以椭圆的长轴长13.

答案：13

三、解答题

8．△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A，B，C在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．

解：由条件可知A′B′＝A′C′，

∴∠B′A′C′＝90°.

设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，

A′C′2＝4－(5－x)2，

由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，

得2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5±.

即A到α的距离为5±.

9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．

解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，

则b＝3，

a＝＝3×2＝6，

∴c2＝a2－b2＝62－32＝27.

∴两焦点间距离2c＝2＝6.

10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，AB，CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．

解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，

则侧面展开图的中心角为＝π，

∴圆锥的半顶角α＝.

连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，

∴OE∥VA，

∴∠VOE＝∠AVO＝.

又∵AB⊥CD，VO⊥CD，

∴CD⊥平面VAB.

∴平面CDE⊥平面VAB.

即平面VAB为截面CDE的轴面，

∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为.

又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，

故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．