数学第三讲 圆锥曲线性质的探讨综合与测试课时练习

章末综合测评(三)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.如图1，已知AB∥A′B′，BC∥B′C′，那么下列比例式成立的是(　　)

图1

A.＝

B.＝

C.＝

D.＝

【解析】　∵AB∥A′B′∴＝.同理＝，

∴＝，∴A不成立．

＝＝，∴＝，∴B成立．

由于＝，∴AC∥A′C′，

∴＝，∴C不成立．

＝＝，∴D不成立．

【答案】　B

2．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为(　　) 【导学号：07370057】

A．4　　　　 B.　　　　

C．24　　　　 D．2

【解析】　由题意知PA·PB＝PC·PD，

设PC＝x，则PD＝2x，

∴2x·x＝4×12，∴x＝2，即PC＝2.

【答案】　D

3．如图2，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则的值为(　　)

图2

A.　　　　　　 B.

C. D.

【解析】　由题意得，CD2＝AD·BD，

∴BD＝.又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，

则＝＝，故＝.

【答案】　A

4．如图3，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)

图3

A．40°   B．55°

C．65° D．70°

【解析】　∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.

【答案】　B

5．如图4，四边形BDEF是平行四边形，如果CD∶DB＝2∶3，那么S▱BDEF是S△ABC的(　　)

图4

A.   B.

C. D.

【解析】　因为DE∥AB，所以△CDE∽△ABC，

所以＝2.

又CD∶DB＝2∶3，所以CD∶CB＝2∶5，

所以＝2＝2＝，

所以S△CDE＝S△ABC.

因为DE∥AB，所以＝＝，所以＝.

同理，S△AFE＝S△ABC.

所以S▱BDEF＝S△ABC－S△AFE－S△EDC

＝S△ABC－S△ABC－S△ABC＝S△ABC.

【答案】　D

6．如图5，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan∠BAC＝，则阴影部分的面积为(　　)

图5

A.π   B.π－24

C．24 D.＋24

【解析】　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.

∵tan∠BAC＝，∴sin∠BAC＝.

又∵sin∠BAC＝，AB＝10，

∴BC＝×10＝6，AC＝×BC＝×6＝8，

∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6＝π－24.

【答案】　B

7．如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为(　　)

图6

A.　　　　 B.

C. D．非上述结论

【解析】　用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e＝sin 30°＝.

【答案】　A

8．如图7，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20°，则∠ACB，∠DBC分别为(　　)

图7

A．15°与30°   B．20°与35°

C．20°与40° D．30°与35°

【解析】　∵∠ADB＝20°，

∴∠ACB＝∠ADB＝20°.

又∵BC为⊙O的直径，

∴的度数为180°－40°＝140°.

∵D为的中点，∴的度数为70°，

∴∠DBC＝＝35°.

【答案】　B

9．如图8，AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB＝6，CD＝2，则线段AC的长度为(　　)

图8

A．5   B.

C. D．3

【解析】　连接BC，∵AB垂直平分CD，

∴CP2＝AP·PB.设PB＝x，则AP＝6－x，

∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去)，即AP＝5.

又CP＝＝，∴AC＝＝.

【答案】　C

10．如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为(　　)

图9

A．2∶1　　　　　 B．1∶2

C.∶1 D.∶1

【解析】　连接BE，求△AEC与△ABD的面积比，即求AE2∶AB2的值．设AB＝a，∵∠A＝45°，

CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，

∴BE＝AB＝a，∴AE＝a，

∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，

即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.

【答案】　A

11.如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是(　　)

图10

A．①②④   B．①②③

C．②③④ D．①②③④

【解析】　如图所示，连接AB，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得图形是图①.当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图②.当平面经过轴AB时，截得的图形是图③.当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④.故有可能的图形是①②③④.

【答案】　D

12．如图11，已知△ABC中，＝，＝，AD，BE交于F，则·的值为(　　)

图11

A.   B.

C. D.

【解析】　过D作DG∥BE交AC于G.

∵＝，∴＝，

∴＝＝，

∴DG＝BE.

又＝＝，∴EG＝EC.

又＝，∴EC＝AE，

∴＝＝

＝＝，

∴FE＝DG＝×BE＝BE，

∴＝，＝＝，

∴·＝×＝.

【答案】　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)

13．如图12，点E，F分别在AD，BC上，已知CD＝2，EF＝3，AB＝5，若EF∥CD∥AB, 则等于________．

【导学号：07370058】

图12

【解析】　如图，过C作CH∥DA交EF于G，交AB于H，则EG＝AH＝DC＝2，GF＝1，BH＝3.

∵GF∥HB，∴＝＝，∴＝.

【答案】　

14．(2016·重庆七校联盟联考)如图13，半径为4的圆O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交圆O于点E，则线段DE的长为________．

图13

【解析】　延长BO交圆O于点F，则DF＝6，BD＝2.由勾股定理得：AD＝＝2.

由相交弦定理得：AD·DE＝FD·DB，所以2·DE＝12⇒DE＝＝.

【答案】　

15．一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e＝________.

【解析】　依题意，Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长，

∴2a＝12，∴a＝6.又b＝r＝4，

∴c＝＝＝2，

∴椭圆的离心率e＝＝＝.

【答案】　

16．如图14，已知△ABC中，边AC上一点F分AC为＝，BF上一点G分BF为＝，AG的延长线与BC交于点E，则BE∶EC＝________.

              图14

【解析】　过F作FD∥AE交BC于D，如图所示，

则＝＝，＝＝，故CD＝DE，BE＝DE，EC＝CD＋DE＝DE＋DE＝DE，

从而＝.

【答案】　3∶5

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2016·唐山二模)如图15所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

图15

(1)求证：AB∥DE；

(2)求证：2AD·CD.＝AC·BC.

【证明】　(1)连接BD，因为D为的中点，所以BD＝DC.

因为E为BC的中点，所以DE⊥BC.

因为AC为圆的直径，所以∠ABC＝90°，

所以AB∥DE.

(2)因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，

又∠BAD＝∠DCB，则∠DAC＝∠DCB.

又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD，

所以＝，AD·CD＝AC·CE,2AD·CD＝AC·2CE，

因此2AD·CD＝AC·BC.

18．(本小题满分12分)如图16，AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，DC切⊙O于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，BD与AC交于点F，求证：FE∥AD.

图16

【证明】　∵AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，

∴AD⊥AB，BC⊥AB，

∴AD∥BC，∴＝.

∵DC与⊙O切于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，

∴AD＝DE，BC＝CE，

∴＝，∴FE∥AD.

19．(本小题满分12分)如图17，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．

图17

【证明】　连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD，CE.

因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．

从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，

于是＝＝＝，

所以AB∶AC为定值．

20．(本小题满分12分)如图18所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.

(1)求证：AD∥EC；

(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．

图18

【解】　(1)证明：连接AB，

∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，

又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.

(2)设BP＝x，PE＝y，

∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①

∵AD∥EC，∴＝⇒＝.②

由①②得，或(舍去)，

∴DE＝9＋x＋y＝16.

∵AD是⊙O2的切线，

∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.

21．(本小题满分12分)如图19，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.

求证：(1)AG·EF＝CE·GD；

(2)＝.

图19

【证明】　(1)如图，连接AB，AC，

∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，

∴∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，

∴∠CEF＝∠AGD.

∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF.

∵G为弧BD的中点，∴∠DAG＝∠GDF，

∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，

∴＝，∴AG·EF＝CE·GD.

(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，

∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF，

由(1)知＝，∴＝.

22．(本小题满分12分)如图20，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB＝10，AC＝12.

(1)求证：BA·DC＝GC·AD；

(2)求BM.

图20

【解】　(1)证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB＝90°.

又AD是圆O的直径，所以∠DCA＝90°，

又因为∠BAG＝∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角)，

所以△AGB∽△DCA，所以＝.

又因为OG⊥AC，所以GC＝AG，

所以＝，即BA·DC＝GC·AD.

(2)因为AC＝12，所以AG＝6.

因为AB＝10，所以BG＝＝8，

由(1)知，Rt△AGB∽Rt△DCA，所以＝，

所以AD＝15，即圆的直径2r＝15.

又因为AB2＝BM·(BM＋2r)，即BM2＋15BM－100＝0，

解得BM＝5.