人教版新课标A选修4-4曲线的参数方程第2课时一课一练

第二讲  参数方程

二、圆锥曲线的参数方程

第2课时  双曲线的参数方程和抛物线的参数方程

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是(　　)

A.(t为参数)　 B.(t为参数)

C.(t为参数)   D.(t为参数)

解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.

答案：D

2．方程(t为参数)的图形是(　　)

A．双曲线左支   B．双曲线右支

C．双曲线上支   D．双曲线下支

解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，

且x＝et＋e－t≥2＝2，

所以表示双曲线的右支．

答案：B

3．若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是(　　)

A．t1＋t2   B．t1－t2[来源:学_科_网Z_X_X_K]

C.   D.[来源:Zxxk.Com]

解析：依题意M1(2pt1，2pt)，M2(2pt2，2pt)，

所以k＝＝＝t1＋t2.

答案：A

4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为(　　)

A．0　　 　　B．1　　　 　C.　　　 　D．2

解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.

由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.

答案：B

5．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是(　　)

A．9x2－16y2＝16(y≠0)

B．9x2＋16y2＝16(y≠0)

C．9x2－16y2＝1(y≠0)

D．9x2＋16y2＝1(y≠0)

解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，[来源:Zxxk.Com]

故F1(－5，0)，F2(5，0)，

设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则

x＝＝sec θ，y＝＝tan θ，[来源:Z。xx。k.Com]

从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．

答案：A

二、填空题

6．双曲线的顶点坐标为________．

解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．

答案：(±，0)

7．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．

解析：由双曲线参数方程可知a＝1，

故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.

答案：10或6

8．过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．

解析：化为普通方程是：x＝，即y2＝4x，所以p＝2.

所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8.

答案：8

三、解答题

9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

解：因为直线l的参数方程为

所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①[来源:Z。xx。k.Com]

同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.

10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．

解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，

可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，

则kMN＝＝.

又设MN的中点为P(x，y)，

则

所以kAP＝.

由kMN＝kAP知t1·t2＝－，

又

则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．

所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．

B级　能力提升

1．已知抛物线C1：(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝(　　)

A．1  B.  C.  D．2

解析：抛物线C1的普通方程为y2＝8x，焦点为(2，0)，故直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，由题意＝r，得r＝.

答案：C

2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．

解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．

答案：(2，－4)

3.如图所示，设M为双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点，过点M作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，试求平行四边形MAOB的面积．

解：双曲线的渐近线方程为y＝±x.

不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为(asec φ，btan φ)，则直线MA的方程为y－btan φ＝－(x－asec φ)，

将y＝x代入解得点A的横坐标为xA＝(sec φ－tan φ)，

同理可得点B的横坐标为xB＝(sec φ－tan φ)．

设∠AOx＝α，则tan α＝，

所以平行四边形MAOB的面积为S▱MAOB＝|OA|·|OB|·sin 2α－··sin 2α＝·sin 2α＝·tan α＝·＝.