高中数学人教版新课标A选修4-4简单曲线的极坐标方程同步达标检测题

第一讲  坐标系

三、简单曲线的极坐标方程

A级　基础巩固

一、选择题

1．极坐标方程ρcos θ＝－6表示(　　)

A．过点(6，π)垂直于极轴的直线

B．过点(6，0)垂直于极轴的直线

C．圆心为(3，π)，半径为3的圆

D．圆心为(3，0)，半径为3的圆

解析：将ρcos θ＝－6化为直角坐标方程是：x＝－6，它表示过点(6，π)垂直于极轴的直线．

答案：A

2．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.

解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，圆心的直角坐标是，化为极坐标是.

答案：A

3．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为(　　)

A．ρcos θ＝2   B．ρsin θ＝2

C．ρ＝4sin   D．ρ＝4sin

解析：将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，它与直线x－2＝0相切，将x－2＝0化为极坐标方程为ρcos θ＝2.

答案：A

4．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的方程是(　　)

A．ρ＝1   B．ρ＝cos θ

C．ρ＝－   D．ρ＝

解析：设M为所求直线上任意一点(除P外)，其极坐标为(ρ，θ)，在直角三角形OPM中(O为极点)，ρcos|π－θ|＝1，即ρ＝－.经检验，(1，π)也适合上述方程．

答案：C

5．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)[来源:学&科&网]

A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2  B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2

C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1  D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1

解析：由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.

答案：B

二、填空题

6．直线x－y＝0的极坐标方程为__________________．

解析：直线方程x－y＝0变为极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝0，即cos θ－sin θ＝0，故tan θ＝，

故θ＝或θ＝π，

所以直线x－y＝0的极坐标方程为θ＝或θ＝.

答案：θ＝或[来源:Zxxk.Com]

7．圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为___________．

解析：将圆心的极坐标化为直角坐标为.因为圆的半径为3，故圆的直角坐标方程为＋＝9，化为极坐标方程为ρ＝6cos.

答案：ρ＝6cos[来源:学#科#网]

8．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．

解析：将直线l的极坐标方程2ρsin＝化为直角坐标方程为x－y＋1＝0.

由A得A点的直角坐标为(2，－2)，

从而点A到直线l的距离d＝＝.

答案：

三、解答题

9．在极坐标系中，已知点P为圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0上任意一点．求点P到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最小值与最大值．

解：圆ρ2＋2ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为

x2＋y2＋2y－7＝0，即x2＋(y＋1)2＝8，[来源:学*科*网Z*X*X*K]

直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为x＋y－7＝0.

根据题意可设点P(2cos α，2sin α－1)，

则点P到直线x＋y－7＝0的距离

d＝＝，

当sin＝1时，dmin＝＝2；

当sin＝－1时，dmax＝＝6.

10．已知两个圆的极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ.

(1)求两个圆的圆心距；

(2)求经过两圆的交点的直线的极坐标方程．

解：两个圆的直角坐标方程分别是x2＋y2－x＝0，x2＋y2－y＝0.[来源:学科网ZXXK]

(1)两个圆的圆心坐标分别是，，所以两圆的圆心距是.

(2)易得经过两圆的交点的直线的直角坐标方程是x－y＝0，故它的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．

B级　能力提升

1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A．ρ＝，0≤θ≤

B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

解析：因为所以y＝1－x化为极坐标方程为

ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝.

因为0≤x≤1，0≤y≤1，

所以线段在第一象限内(含端点)，所以0≤θ≤.

答案：A

2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为______________．

解析：因为 ρ＝2sin θ，所以 ρ2＝2ρsin θ，

所以 x2＋y2＝2y，

即x2＋y2－2y＝0.

答案：x2＋y2－2y＝0

3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．

解：曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，

曲线ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1，

联立方程组得

则交点为(0，1)，对应的极坐标为.