高中数学人教版新课标A选修4-4极坐标系当堂达标检测题

第一讲  坐标系

二、极坐标

A级　基础巩固

一、选择题

1．点P的直角坐标为(1，－)，则它的极坐标是(　　)

A.　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：ρ＝2，tan θ＝－，因为点P(1，－)在第四象限，

故取θ＝－，所以点P的极坐标为.

答案：C

2．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是.

答案：A

3．已知极坐标系中，极点为O，若等边三角形ABC(顶点A，B，C按顺时针方向排列)的顶点A，B的极坐标分别是，，则顶点C的极坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：依题意可知△ABC如图所示，显然OC⊥AB，|OC|＝2，∠COx＝＋＝，

所以C.

答案：C

4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是(　　)

A．关于极轴所在直线对称

B．关于极点对称

C．关于过极点与极轴垂直的直线对称

D．重合

解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．

答案：B

5．极坐标系中，O为极点，已知A，B，则|AB|等于(　　)

A．4　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．2

解析：由A，B知∠AOB＝－＝，

又|OA|＝|OB|＝4，

故△AOB为等边三角形，故|AB|＝4.

答案：B

二、填空题

6．已知A，B两点的极坐标为，，则线段AB中点的直角坐标为________．

解析：因为A，B两点的极坐标为，，

所以A，B两点的直角坐标是(3，3)，(－4，－4)，

所以线段AB中点的直角坐标是.

答案：

7．在极坐标系中，O为极点，若A，B，则△AOB的面积等于________．

解析：点B的极坐标可表示为，

则∠AOB＝－＝，

故S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×3×4·sin ＝3.

答案：3

8．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．

解析：因为点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.

答案：3

三、解答题

9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)．

(1)(，3)；

(2)(－1，－1)；[来源:学科网ZXXK]

(3)(－3，0)

解：(1)ρ＝＝2，tan θ＝＝.

又因为点在第一象限，所以θ＝.

所以点(，3)的极坐标为.

(2)ρ＝＝，tan θ＝1.

又因为点在第三象限，所以θ＝.

所以点(－1，－1)的极坐标为.

(3)ρ＝＝3，

可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π)．

10．某大学校园的部分平面示意图如图所示．

用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)]．

解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为|OC|＝600，∠AOC＝，故C.

又|OA|＝600×cos ＝300，

|OD|＝600×sin ＝300，[来源:学,科,网]

|OE|＝300，|OF|＝300，|OG|＝150.

故A(300，0)，D，E，

F(300，π)，G.

B级　能力提升

1．点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点的极坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为ρ＝－2<0，[来源:学科网]

所以找点时，先找到角－的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是，如图所示．

故M关于直线θ＝的对称点为M′，又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.

答案：B

2．在极坐标系中，定点A，点B的一个极坐标为(ρ>0)，当线段AB最短时，点B的极坐标为__________________．

答案：(k∈Z)

3．舰A在舰B的正东方向6 km处，舰C在舰B的北偏西

30°方向4 km处，它们围捕海洋动物．某时刻舰A发现动物的信号，4秒后舰B，舰C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求动物所处位置的极坐标．[来源:学科网]

解：对舰B而言，A，C两舰位置如图所示，取A，B所在直线为x轴，以AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A，B，C三舰的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)．

由于B，C同时发现动物信号，记动物所处位置为P，则|PB|＝|PC|.

于是点P在BC的中垂线l上，

易求得其方程为x－3y＋7＝0.[来源:Z.xx.k.Com]

又由A，B两舰发现动物信号的时间差为4秒知

|PB|－|PA|＝4，

于是知P应在双曲线－＝1的右支上．直线l与双曲线的交点P(8，5)即为动物的位置．

根据两点的斜率公式得直线PA的倾斜角为60°，于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.

由两点间的距离公式得|PA|＝10.

所以以舰A所在地为极点，动物所处位置的极坐标为.