人教版新课标A选修4-4圆锥曲线的参数方程第2课时课后作业题

第二讲  参数方程

一、曲线的参数方程

第2课时  圆的参数方程

A级　基础巩固

一、选择题

1．已知圆P：(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是(　　)

A．P(1，3)，r＝10　　 B．P(1，3)，r＝

C．P(1，－3)，r＝   D．P(1，－3)，r＝10

解析：由圆P的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r＝.

答案：C

2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的参数方程为(　　)

A.(θ为参数)

B.(θ为参数)

C.(θ为参数)

D.(θ为参数)

解析：圆的方程配方为：(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆的圆心为(－2，3)，半径为4，故参数方程为B选项．

答案：B

3．已知圆O的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝(　　)

A.　　　　B.  C.　　　　D.

解析：由题意(0≤θ<2π)，

所以(0≤θ<2π)，解得θ＝.

答案：D

4．若P(x，y)是圆(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)

A．36　　　　B．6  C．26　　　　D．25

解析：依题意P(2＋cos α，sin α)，

所以(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝

26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)

，

所以当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.

答案：A

5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是(　　)

A．相切   B．相离

C．直线过圆心   D．相交但直线不过圆心

解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，

又圆心到直线距离d＝<2.

所以直线与圆相交，但不过圆心．

答案：D

二、填空题

6．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是______．

解析：将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，

所以它的一个参数方程为(θ为参数)．

答案：(θ为参数)

7．已知曲线方程(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．

解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，

则|PA|＝＝

，

故|PA|min＝＝2－1.

答案：2－1

8．曲线C：(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．

解析：(θ为参数)消参可得

x2＋(y＋1)2＝1，

利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，

解得1－≤a≤1＋.

答案：x2＋(y＋1)2＝1　[1－，1＋]

三、解答题

9．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l普通方程；

(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．

解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，

所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，

所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.

由得x＝y＋m，即x－y－m＝0，

所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.

(2)设圆心到直线l的距离为d，

由(1)可知直线l：x－y－2＝0，

曲线C：(x－1)2＋y2＝1，

圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为1.

则圆心到直线l的距离为d＝＝，

所以|AB|＝2 ＝，

因此|AB|的值为.

10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．[来源:学.科.网]

(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．

因为C在点D处的切线与l垂直，

所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.

故D的直角坐标为，即.

B级　能力提升

1．已知点P(x，y)在曲线C：(θ为参数)上，则x－2y的最大值为(　　)

A．2   B．－2

C．1＋   D．1－

解析：由题意，得

所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)＝

1－＝1－sin(θ－φ)，

所以x－2y的最大值为1＋.

答案：C

2．已知圆C：(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．

解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，

故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－1，[来源:Zxxk.Com]

当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－5，[来源:学,科,网Z,X,X,K]

故|AB|＝|－1＋5|＝4.

答案：4

3．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得

由x＋y＝1得x2＋＝1，[来源:学科网ZXXK]

即曲线C的方程为x2＋＝1.

故C的参数方程为(t为参数)．

(2)由解得或

不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，

于是所求直线的方程为y－1＝，[来源:学#科#网]

化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

即ρ＝为过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．