高中数学人教版新课标A选修4-4柱坐标系与球坐标系简介课堂检测

第一讲  坐标系

四、柱坐标系与球坐标系简介

A级　基础巩固

一、选择题

1．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的柱坐标为(　　)

A.　　　　　 B.

C.   D.

解析：ρ＝＝2，tan θ＝＝，θ＝，所以点M的柱坐标为.

答案：C

2．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，

因为点M的球坐标为，

所以x＝1·sin cos ＝，

y＝1·sin sin ＝，

z＝1·cos ＝.

所以M的直角坐标为.

答案：B

3．已知点P的柱坐标为，点Q的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为(　　)

A．点P(5，1，1)，点Q

B．点P(1，1，5)，点Q

C．点P，点Q(1，1，5)

D．点P(1，1，5)，点Q

答案：B

4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．

所以x＝3cos ＝，y＝3sin ＝，z＝3，

所以M点的直角坐标为.

设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．

γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量OM与z轴正方向夹角．

所以r＝ ＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，

可知cos θ＝＝＝，

所以θ＝，

所以M点的球坐标为.

答案：B

5．在直角坐标系中，点(2，2，2)关于z轴的对称点的柱坐标为(　　)

A.   B.[来源:Zxxk.Com]

C.  D.

解析：(2，2，2)关于z轴的对称点为(－2，－2，2)，[来源:学科网]

则ρ＝＝2，tan θ＝＝＝1，

因为点(－2，－2)在平面Oxy的第三象限内，

所以θ＝，

所以所求柱坐标为.

答案：C

二、填空题

6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．

答案：(－2，2，2)　

7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．

解析：设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影．

因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，

所以PN⊥直线Oy.

所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1，

所以|OM|＝＝＝3.

在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，

所以|MN|＝＝＝.

答案：3　

8．若点P的柱坐标为，则点P的球坐标为___________．

解析：点P的柱坐标为，

则点P的直角坐标为，

故r＝ ＝3.

由3＝3cos φ，cos φ＝，得φ＝，

又tan θ＝＝，又θ的终边过点，

故θ为，

故点P的球坐标为.

答案：

三、解答题

9．设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．

解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，

tan θ＝＝1，

θ＝(点1，1)在平面xOy的第一象限．

r＝＝＝2.

由rcos φ＝z＝(0≤φ≤π)，得cos φ＝＝，φ＝.

所以点M的柱坐标为，球坐标为.

10．在球坐标系中，求两点P、Q的距离．

解：将P，Q两点的球坐标转化为直角坐标：

P：x＝3sin cos ＝，

y＝3sin sin ＝，

z＝3cos ＝，

所以点P的直角坐标为.

Q：x＝3sin cos ＝－，

y＝3sin sin ＝，

z＝3cos ＝，

所以点Q的直角坐标为.[来源:学科网]

所以|PQ|＝＝，故P、Q两点间的距离为.

B级　能力提升

1．已知点P1的球坐标为，P2的柱坐标为，则|P1P2|＝(　　)

A.   B.

C.   D．4

解析：设点P1的直角坐标为(x1，y1，z1)，

则得

故P1(2，－2，0)，

设点P2的直角坐标为P2(x2，y2，z2)，

故得

故P2(，1，1)．

则|P1P2|＝ ＝.

答案：A

2．在柱坐标系中，长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8，0，10)，C1，则此长方体外接球的体积为________．

答案：π

3．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．

解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，

如图所示，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，[来源:学科网ZXXK]

∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，

这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．

则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，

所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.[来源:学科网ZXXK]

因为OB＝R，O′B＝O′A＝R，

所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.

所以∠AOB＝60°，＝×2πR＝πR.

即A，B两点间的球面距离为πR.