高中数学人教版新课标A选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式本节综合同步达标检测题

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课时提升作业 五

绝对值不等式的解法

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.(2016·临沂高二检测)>0的解集为　(　　)

A.

B.

C.

D.{x|x∈R且x≠-3}

【解析】选C.原不等式可化为

解得x>或x<-且x≠-3.

2.(2016·济南高二检测)不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解是　(　　)

A.0    B.-1    C.1    D.2

【解析】选A.根据绝对值的几何意义,

得不等式|x-2|+|x-1|≤3的解为0≤x≤3.

所以不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解为0.

3.若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则a的最大值是　(　　)

A.0    B.1    C.-1    D.2

【解析】选B.|x-2|+|x-a|=|x-2|+|a-x|≥

|x-2+a-x|=|a-2|,所以|a-2|≥a,解得a≤1,

所以a的最大值为1.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.(2016·德州高二检测)已知集合A={x||x-4|+|x-1|<5},B={x|a<x<6}且A∩B=(2,b),则a+b=________.

【解析】A={x|0<x<5},

由A∩B=(2,b)知故a+b=7.

答案:7

5.(2016·石家庄高二检测)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为__________.

【解析】方法一:由得x≤-3;

由无解;

由得x≥2.

即所求的解集为{x|x≤-3或x≥2}.

方法二:在数轴上,点-2与点1的距离为3,

所以往左右边界各找距离为1的两个点,

即点-3到点-2与点1的距离之和为5,

点2到点-2与点1的距离之和也为5,

所以原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.

答案:{x|x≤-3或x≥2}

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.(2016·武汉高二检测)解不等式x+|2x+3|≥2.

【解析】原不等式可化为

或

解得x≤-5或x≥-.

综上,原不等式的解集是.

7.已知a+b=1,对任意的a,b∈(0,+∞),+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.

【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,

所以+=(a+b)=5++≥9,

故+的最小值为9,因为对任意的a,b∈(0,+∞),

使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立,

所以|2x-1|-|x+1|≤9,

当x≤-1时,2-x≤9,所以-7≤x≤-1;

当-1<x<时,-3x≤9,所以-1<x<;

当x≥时,x-2≤9,所以≤x≤11.

综上所述,x的取值范围是-7≤x≤11.

8.(2016·聊城高二检测)已知函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,求实数a的值.

【解析】①当a≤2时,

f(x)=

②当a>2时,f(x)=

由①②可得f(x)min=f==3,

解得a=-4或8.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2015·山东高考)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是　(　　)

A.(-∞,4)       B.(-∞,1)

C.(1,4)        D.(1,5)

【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.

【解析】选A.方法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).

方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).

方法三:用排除法,令x=0符合题意,排除C,D;令x=2符合题意,排除B.

2.(2016·石家庄高二检测)设函数f(x)=则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2]∪[0,4]     B.(-∞,-2]∪[0,1]

C.(-∞,-2]∪[1,4]     D.[-2,0]∪[1,4]

【解析】选A.由题意知,当x<1时,f(x)≥1等价于(x+1)2≥1,解得x≤-2或0≤x<1;

当x≥1时,f(x)≥1等价于4-≥1,解得1≤x≤4.

综上所述,满足题设的x的取值范围是

(-∞,-2]∪[0,4].

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·安阳高二检测)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则a=__________.

【解析】由|ax-2|<3得到-3<ax-2<3,-1<ax<5,

又知道解集为,所以a=-3.

答案:-3

4.设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.

【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识|x-a|+|x-b|表示数轴上某点到a,b的距离之和即可得解.

【解析】函数f(x)=|x-a|+|x-b|的值域为:

[|a-b|,+∞).因此,当∀x∈R时,f(x)≥|a-b|>2.所以,不等式|x-a|+|x-b|>2的解集为R.

答案:R

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集.

(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.

【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)可化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.

设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

则y=它的图象如图所示:

结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).

(2)设a>-1,且当x∈时,

f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,

故x≥a-2对x∈都成立.

故-≥a-2,解得a≤,

故a的取值范围为.

6.设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.

(1)求M.

(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.

【解析】(1)f(x)=2|x-1|+x-1=

当x≥1时,由f(x)≤1得x≤,故1≤x≤;

当x<1时,由f(x)≤1得x≥0,故0≤x<1;

综上可知,f(x)≤1的解集为M=.

(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,

解得-≤x≤.因此N=,

故M∩N=.

当x∈M∩N时,f(x)=1-x,

于是x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)(x+f(x))=xf(x)

=x(1-x)=-≤.

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