数学人教版新课标A三 排序不等式习题

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单元质量评估(三)

 (第三讲)

(90分钟　120分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为　(　　)

A.2    B.4    C.8    D.16

【解析】选B.由柯西不等式,

(mt+ns)2≤(m2+n2)(t2+s2)=16,得|mt+ns|≤4,

当且仅当ms=nt时等号成立.

2.(2016·深圳高二检测)函数y=+2的最大值为　(　　)

A.    B.    C.3    D.5

【解析】选B.根据柯西不等式,有

≤(1+4)[(x-5)+(6-x)]=5,所以y=+2≤.

3.设a,b,c>0,且a+b+c=1,则++的最大值是　(　　)

A.1    B.    C.3    D.9

【解析】选B.由柯西不等式得[()2+()2+()2]·(12+12+12)≥(++)2,所以(++)2≤1×3=3.当且仅当a=b=c=时等号成立.故++的最大值为.

4.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是　(　　)

A.1    B.n    C.n2    D.

【解析】选C.设n个正数为x1,x2,…,xn.由柯西不等式得:(x1+x2+…+xn)(++…+)≥=(1+1+…+1)2=n2.当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.

5.(2016·石家庄高二检测)已知正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最大值为　(　　)

A.3    B.3    C.18    D.9

【解析】选B.根据柯西不等式,++≤=3,当且仅当a=b=c=时,等号成立.

6.(2016·西宁高二检测)已知a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,则M=(ax1+bx2)·(bx1+ax2)与4的大小关系是　(　　)

A.M>4    B.M<4    C.M≥4    D.M≤4

【解析】选C.(ax1+bx2)(bx1+ax2)

=[()2+()2]·[()2+()2]

≥[(x1+x2)]2=(x1+x2)2=4.

7.设a1,a2,a3为正数,E=++,F=a1+a2+a3,则E,F的大小关系是　(　　)

A.E<F        B.E≥F

C.E=F        D.E≤F

【解析】选B.不妨设a1≥a2≥a3>0,

于是≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2.

由排序不等式:顺序和≥乱序和,得++≥

·a2a3+·a3a1+·a1a2=a3+a1+a2,

即++≥a1+a2+a3.

所以E≥F.

8.(2016·武汉高二检测)已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取得最小值时的x,y,z的值分别为　(　　)

A.,,        B.,,

C.1,,        D.1,,

【解析】选B.

(x2+y2+z2)(4+9+16)≥(2x+3y+4z)2=100,

当且仅当==且2x+3y+4z=10时等号成立,

此时x=,y=,z=.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

9.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s,每个人接完水后就离开,则他们等候的总时间最短为　　　　s.

【解析】由题意知,等候的时间最短为3×4+4×3+5×2+7=41.

答案:41

10.(2016·盐城高二检测)正数a,b,c满足a+b+4c=1,则++的最大值为　　　　.

【解析】≤(1+1+)(a+b+4c)=,

所以++≤.

答案:

11.(2016·昆明高二检测)已知0<x<1,0<y<1,则函数f(x)=+ 的最小值是　　　　.

【解析】由三角不等式,得

+

≥=,

当且仅当x=1-x,y=1-y,

即x=,y=时,等号成立.

故f(x)的最小值为.

答案:

12.锐角三角形中,设P=,Q=acosC+bcosB+ccosA,则P,Q的关系为　　　　.

【解析】不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC,

则由排序不等式有

Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA

=R(2sinAcosB+2sinBcosC+2sinCcosA)

=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]

=R(sinC+sinA+sinB)

=P=.

答案:P≤Q

三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

13.(10分)(2016·临沂高二检测)已知2x+3y+5z=29,求函数u=+ +的最大值.

【解析】根据柯西不等式,

120=(1+1+1)[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]

≥(++)2,

于是++≤2.

当且仅当x=,y=,z=时等号成立.

故函数u=++的最大值为2.

14.(10分)(2016·长春高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求证:++≥36.

【证明】(x+y+z)≥

=(1+2+3)2=36,当且仅当x2=y2=z2,

即x=,y=,z=时,等号成立.

【一题多解】(利用基本不等式)

++=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)

=14+++≥14+4+6+12=36.

当且仅当y=2x,z=3x,且x+y+z=1,

所以x=,y=,z=时,等号成立.

15.(10分)已知a,b,c为正数,a≥b≥c,求证:

(1)≥≥.

(2)++≥++.

【解析】(1)因为a≥b>0,于是≤,又c>0,

所以>0,从而≥.

同理,因为b≥c>0,于是≤,

因为a>0,所以>0,

于是得≥.

从而≥≥.

(2)由(1)≥≥,于是顺序和≥乱序和得,

++≥++

=++

≥++=++

=++.

16.(10分)设c1,c2,…,cn为正数组a1,a2,…,an的某一排列,求证:++…+≥n.

【证明】不妨设0<a1≤a2≤…≤an,

则≥≥…≥.

因为,,…,是,,…,的一个排列,

故由排序原理,反序和≤乱序和

得a1·+a2·+…+an·

≤a1·+a2·+…+an·.

即++…+≥n.

17.(10分)(2016·徐州高二检测)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].

(1)求m的值.

(2)若a,b,c∈R+,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.

【解析】(1)因为f(x+2)=m-|x|≥0,等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m},

又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.

(2)由(1)知++=1,

又a,b,c∈R+,由柯西不等式得

a+2b+3c=(a+2b+3c)

≥=9.

18.(10分)(2016·广州高二检测)设a1,a2,…,an为1,2,3,…,n的一个排列.求证:++…+≤++…+.

【证明】设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列且b1<b2<…<bn-1,

c1,c2,…,cn-1是a1,a2,…,an-1的另一个排列且c1<c2<…<cn-1.

于是>>…>.由乱序和≥反序和,得++…+≥++…+.

因为b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n,

所以++…+≥++…+.

即++…+≤++…+≤++…+.

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