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    高中一 二维形式的柯西不等式同步练习题

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    这是一份高中一 二维形式的柯西不等式同步练习题,共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

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        此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

    课时提升作业

    二维形式的柯西不等式

    一、选择题(每小题6分,共18分)

    1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y21,则3x+2y的取值范围是 (  )

    A.[0,]       B.[-,0]

    C.[-,]      D.[-5,5]

    【解析】C.|3x+2y|·,从而-3x+2y.

    2.设a,bR,a2+b2=3,则3a-b的最大值为 (  )

    A.30   B.-30   C.    D.-

    【解析】C.3a-b=3a+(-1)·b·==,当且仅当3b=-a,a=,b=-时等号成立.

    3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,

    Q=·,则P与Q的大小关系为 (  )

    A.PQ   B.P<Q   C.PQ   D.P=Q

    【解析】选A.

    Q2=(am+cn)

    =(+)2

    =P2,

    因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以PQ.

    二、填空题(每小题6分,共12分)

    4.设x,yR+,则(x+y)·的最小值是________.

    【解析】(x+y)

    =(+)2=5+2,

    当且仅当·=·时,等号成立.

    答案:5+2

    5.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________.

    【解析】2x+y=(2x+y)

    =[()2+()2]

    =3+2,

    当且仅当·=·时,等号成立,

    +=1,则此时

    答案:3+2

    一题多解】2x+y=(2x+y)

    =++32+3

    =2+3.

    当且仅当=,即2x2=y2时取等号.

    +=1,

    则此时

    答案:2+3

    【拓展延伸】利用柯西不等式的关键

    利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.

    三、解答题(每小题10分,共30分)

    6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p,

    求证:+,指出等号成立的条件.

    【解析】根据柯西不等式,得(m+n)=4,

    于是+=,

    当m=n=时等号成立.

    7.求函数f(x)=-的最大值.

    【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,

    即得-

    .

    【解析】由于f(x)=-

    =-

    =-=.

    8.已知函数f(x)=|x-4|.

    (1)若f(x)2,求x的取值范围.

    (2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.

    【解析】(1)由已知得,|x-4|2,即-2x-42,

    即2x6,即x的取值范围为[2,6].

    (2)由2x6可得g(x)=2+,

    由柯西不等式,

    得g(x)=2.

    当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.

    一、选择题(每小题5分,共10分)

    1.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系为 (  )

    A.y1y2<x1x2         B.y1y2=x1x2

    C.y1y2>x1x2       D.不能确定

    【解析】选C.因为a,b,x1,x2为互不相等的正数,

    所以y1y2=·=

    =

    >==x1x2.

    补偿训练】已知a,bR,且P=,Q=,则P,Q的大小关系是 (  )

    A.PQ       B.P>Q

    C.PQ       D.P<Q

    【解析】选C.因为(a2+b2)

    ,

    当且仅当a·=b·,即a=b时=成立.

    所以+,即QP.

    2.函数y=+的最小值是 (  )

    A.20    B.25    C.27    D.18

    【解题指南】由函数式的特征,两项分母x及1-2x的关系可表示为2·x+1-2x=1,这为创造条件利用柯西不等式提供了可能.

    【解析】选B.y=+=+

    =[2x+(1-2x)]

    =25,

    当且仅当x=时等号成立.

    二、填空题(每小题5分,共10分)

    3.(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________.

    【解析】由柯西不等式知(3+4)2(32+42)·[()2

    +()2]=25.当且仅当3=4时,等号成立,因此f(x)5.

    答案:5

    4.已知a,bR+,且a+b=1,则+的最小值是________.

    【解析】因为a,bR+且a+b=1,

    所以+=(a+b),由柯西不等式得

    (a+b)

    ==+.当且仅当时等号成立,此时a=-1,b=2-.

    答案:+

    一题多解】+=(a+b)

    =++2+

    =+,

    当且仅当a=-1,b=2-时等号成立.

    答案:+

    三、解答题(每小题10分,共20分)

    5.(2016·天津高二检测)设x>0,y>0,且x+y=2,求+的最小值.

    【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y).

    【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有

    [(2-x)+(2-y)]=

    [()2+()2][()2+()2]

    =(x+y)2=4,

    所以+

    ===2.

    当且仅当·=·,

    即x=y=1时,等号成立.

    所以当x=y=1时,+有最小值2.

    6.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.

    【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.

    因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B20.由柯西不等式,得

    (A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]

    [A(x-x0)+B(y-y0)]2

    =[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2

    =(Ax0+By0+C)2,

    所以|PQ|.

    当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值.

    因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.

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