高中一 二维形式的柯西不等式同步练习题

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课时提升作业 九

二维形式的柯西不等式

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是　(　　)

A.[0,]       B.[-,0]

C.[-,]      D.[-5,5]

【解析】选C.|3x+2y|≤·≤,从而-≤3x+2y≤.

2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为　(　　)

A.30   B.-30   C.    D.-

【解析】选C.3a-b=3a+(-1)·b≤·==,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.

3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,

Q=·,则P与Q的大小关系为　(　　)

A.P≤Q   B.P<Q   C.P≥Q   D.P=Q

【解析】选A.

Q2=(am+cn)

≥=(+)2

=P2,

因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以P≤Q.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.设x,y∈R+,则(x+y)·的最小值是________.

【解析】(x+y)≥

=(+)2=5+2,

当且仅当·=·时,等号成立.

答案:5+2

5.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________.

【解析】2x+y=(2x+y)

=[()2+()2]

≥

=3+2,

当且仅当·=·时,等号成立,

又+=1,则此时

答案:3+2

【一题多解】2x+y=(2x+y)

=++3≥2+3

=2+3.

当且仅当=,即2x2=y2时取等号.

又+=1,

则此时

答案:2+3

【拓展延伸】利用柯西不等式的关键

利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.

三、解答题(每小题10分,共30分)

6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p,

求证:+≥,指出等号成立的条件.

【解析】根据柯西不等式,得(m+n)≥=4,

于是+≥=,

当m=n=时等号成立.

7.求函数f(x)=-的最大值.

【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,

即得-≤

.

【解析】由于f(x)=-

=-

=-≤=.

8.已知函数f(x)=|x-4|.

(1)若f(x)≤2,求x的取值范围.

(2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.

【解析】(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2,

即2≤x≤6,即x的取值范围为[2,6].

(2)由2≤x≤6可得g(x)=2+,

由柯西不等式,

得g(x)≤=2.

当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系为　(　　)

A.y1y2<x1x2　　　　　　   B.y1y2=x1x2

C.y1y2>x1x2       D.不能确定

【解析】选C.因为a,b,x1,x2为互不相等的正数,

所以y1y2=·=

=

>==x1x2.

【补偿训练】已知a,b∈R,且P=,Q=,则P,Q的大小关系是　(　　)

A.P≥Q       B.P>Q

C.P≤Q       D.P<Q

【解析】选C.因为(a2+b2)

≥,

当且仅当a·=b·,即a=b时“=”成立.

所以≥+,即Q≥P.

2.函数y=+的最小值是　(　　)

A.20    B.25    C.27    D.18

【解题指南】由函数式的特征,两项分母x及1-2x的关系可表示为2·x+1-2x=1,这为创造条件利用柯西不等式提供了可能.

【解析】选B.y=+=+

=[2x+(1-2x)]

≥=25,

当且仅当x=时等号成立.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________.

【解析】由柯西不等式知(3+4)2≤(32+42)·[()2

+()2]=25.当且仅当3=4时,等号成立,因此f(x)≤5.

答案:5

4.已知a,b∈R+,且a+b=1,则+的最小值是________.

【解析】因为a,b∈R+且a+b=1,

所以+=(a+b),由柯西不等式得

(a+b)≥

==+.当且仅当时等号成立,此时a=-1,b=2-.

答案:+

【一题多解】+=(a+b)

=++≥2+

=+,

当且仅当a=-1,b=2-时等号成立.

答案:+

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2016·天津高二检测)设x>0,y>0,且x+y=2,求+的最小值.

【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y).

【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有

[(2-x)+(2-y)]=

[()2+()2][()2+()2]

≥=(x+y)2=4,

所以+≥

===2.

当且仅当·=·,

即x=y=1时,等号成立.

所以当x=y=1时,+有最小值2.

6.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.

【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.

因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0.由柯西不等式,得

(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]

≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2

=[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2

=(Ax0+By0+C)2,

所以|PQ|≥.

当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值.

因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.

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