高中数学人教版新课标A选修4-5二 用数学归纳法证明不等式巩固练习

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考前过关训练(二)

证明不等式的基本方法

 (35分钟　60分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.已知m≠n,若x=m4-m3n,y=mn3-n4,则x,y的大小关系为　(　　)

A.x>y         B.x=y

C.x<y         D.与m,n的取值有关

【解析】选A.x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)

=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)

=(m-n)2(m2+mn+n2)

=(m-n)2,

因为m≠n,所以x-y>0,即x>y.

2.求证:-<-.

证明:欲证-<-,

只需证+<2,

只需证(+)2<(2)2,

只需证10+2<20,

只需证<5,只需证21<25,这显然成立.

所以-<-.

上述证明过程应用了　(　　)

A.综合法

B.分析法

C.综合法、分析法配合使用

D.间接证法

【解析】选B.根据分析法的特点可知,上述证明过程是分析法.

3.若1<x<10,下面不等式中正确的是　(　　)

A.(lgx)2<lgx2<lg(lgx)

B.lgx2<(lgx)2<lg(lgx)

C.(lgx)2<lg(lgx)<lgx2

D.lg(lgx)<(lgx)2<lgx2

【解析】选D.因为1<x<10,

所以0<lgx<1,0<(lgx)2<1,0<lgx2<2,lg(lgx)<0.

又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx

=lgx(lgx-2)<0,

所以(lgx)2<lgx2.

所以lg(lgx)<(lgx)2<lgx2.

【一题多解】选D.因为1<x<10,

所以0<lgx<1,lg(lgx)<0,

结合选项知A,B,C错误.

4.若a,b,c为△ABC的三条边,S=a2+b2+c2,p=ab+bc+ac,则　(　　)

A.S≥2p       B.p<S<2p

C.S>p        D.p≤S<2p

【解析】选D.S-p=a2+b2+c2-(ab+bc+ac)=

[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0,所以S≥p.

又因为|a-b|<c,|b-c|<a,|a-c|<b;

所以a2-2ab+b2<c2,b2-2bc+c2<a2,a2-2ac+c2<b2.所以a2+b2+c2<2(ab+bc+ac),所以S<2p.

5.已知x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则M与N的大小关系是　(　　)

A.M≥N        B.M≤N

C.M=N         D.不能确定

【解析】选A.M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)

=[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]

=[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故M≥N.

6.(2016·合肥高二检测)已知a,b,c是△ABC的三边长,A=+,B=,则

(　　)

A.A>B         B.A<B

C.A≥B        D.A≤B

【解析】选A.因为a,b,c是△ABC的三边长,所以c<a+b,

所以B==<==+<+=A,所以B<A.

【补偿训练】设a,b,x,y均为正数,且a,b为常数,x,y为变量,若x+y=1,则+的最大值为　(　　)

A.　　　　　     B.

C.        D.

【解析】选C.本题可利用换元的方法处理:由x+y=1且x>0,y>0,可设x=

sin2α,y=cos2α,故+=sinα+cosα=sin(α+φ)≤.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.(2016·沈阳高二检测)设α,β为锐角,P=sin(α+β),Q=sinα+sinβ,则P与Q的大小关系为________.

【解析】因为α,β为锐角,

P-Q=sin(α+β)-(sinα+sinβ)

=sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)<0,

所以P<Q.

答案:P<Q

8.(2016·郑州高二检测)A=1+++…+与(n∈N+)的大小关系是________.

【解析】A=+++…+≥==.

答案:A≥

9.若a,b∈R+,且a≠b,M=+,N=+,则M,N的大小关系为________.

【解析】因为a≠b,所以+>2,+>2,

所以+++>2+2.

所以+>+.即M>N.

答案:M>N

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.已知0<a<1,求证:+≥9.

【证明】因为(3a-1)2≥0,

所以9a2-6a+1≥0.

所以1+3a≥9a(1-a).

因为0<a<1,所以≥9,

即≥9,所以+≥9.

11.已知a2+b2=1,x2+y2=1,试用分析法证明:ax+by≤1.

【证明】要证ax+by≤1成立,

只需证1-(ax+by)≥0,

只需证2-2ax-2by≥0,

因为a2+b2=1,x2+y2=1,

只需证a2+b2+x2+y2-2ax-2by≥0,

即证(a-x)2+(b-y)2≥0,显然成立.

所以ax+by≤1.

12.设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1).等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)设数列的前n项和为Mn,求证:≤Mn<.

【解析】(1)因为等比数列{bn}的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3+2b5,所以b4+b5=2b5,

所以b4=b5,所以公比a1==1,故等比数列{bn}是常数数列.

数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan-2n(n-1),

当n≥2时,an=Sn-Sn-1

=nan-2n(n-1)-[(n-1)an-1-2(n-1)(n-2)],所以an-an-1=4(n≥2),

所以数列{an}是以1为首项,以4为公差的等差数列,an=4n-3.

(2)因为数列的前n项和为Mn,

==

=,所以Mn=

=<.

再由数列{Mn}是增数列,所以Mn≥M1=.

综上可得,≤Mn<.

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